Bir aritmetik dizide, ardışık üç terimden ortadaki terim, diğer iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Bu, aritmetik dizilerin en temel ve kullanışlı özelliklerinden biridir.
Bir \( a_n \) aritmetik dizisinde, herhangi üç ardışık terim \( a_{n-1} \), \( a_n \) ve \( a_{n+1} \) olsun. Bu terimler için aşağıdaki eşitlik her zaman geçerlidir:
\( a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \)
Yani, ortadaki terim (\( a_n \)), kendisinden bir önceki ve bir sonraki terimin toplamının yarısıdır.
Aritmetik diziler, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizilerdir. Bu sabit farka ortak fark denir ve \( d \) ile gösterilir.
Şimdi \( a_{n-1} \) ve \( a_{n+1} \) terimlerinin aritmetik ortalamasını alalım:
\( \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = \dfrac{a_{n-1} + (a_{n-1} + 2d)}{2} = \dfrac{2a_{n-1} + 2d}{2} = a_{n-1} + d \)
Ancak \( a_{n-1} + d \) ifadesi, tam olarak \( a_n \) terimine eşittir. Sonuç olarak:
\( \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = a_n \)
İspat tamamlanmıştır. ✅
Terimleri \( ..., 5, x, 15, ... \) şeklinde olan bir aritmetik dizide \( x \) değerini bulalım.
Ortadaki terim özelliğini kullanarak:
\( x = \dfrac{5 + 15}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 \)
Sonuç: \( x = 10 \)
Bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi \( 2y - 1 \), \( 3y + 4 \) ve \( 5y - 2 \) olsun. Buna göre \( y \) değerini bulalım.
Ortadaki terim özelliğini yazalım:
\( 3y + 4 = \dfrac{(2y - 1) + (5y - 2)}{2} \)
\( 3y + 4 = \dfrac{7y - 3}{2} \)
Her iki tarafı 2 ile çarpalım:
\( 6y + 8 = 7y - 3 \)
\( 8 + 3 = 7y - 6y \)
\( 11 = y \)
Sonuç: \( y = 11 \)
💡 Hatırlatma: Bu özellik sadece ardışık üç terim için geçerlidir. Terimler ardışık değilse bu özellik kullanılamaz.
