C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2ⁿ kuralı

Question

Bu formülü ispatlarken binom açılımını kullanıyoruz ama mantığını tam olarak kuramadım. Kombinasyonların toplamının neden 2^n ettiğini sezgisel olarak anlamakta zorlanıyorum. Her elemanın ya seçildiği ya da seçilmediği iki durum olduğu için mi bu sonuç çıkıyor?

Answer 1

📚 Kombinasyon Toplamı ve 2'nin Kuvveti

Bu kural, kombinasyonların toplamı ile 2'nin kuvvetleri arasındaki şaşırtıcı ve güzel bir ilişkiyi gösterir. Binom açılımı ile doğrudan bağlantılıdır.

🎯 Temel Kural

Herhangi bir n doğal sayısı için:

\( C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + \dots + C(n,n) = 2^n \)

💡 İspat: Binom Teoremi ile

Binom teoremine göre:

\( (x + y)^n = C(n,0)x^ny^0 + C(n,1)x^{n-1}y^1 + \dots + C(n,n)x^0y^n \)

Bu formülde \( x = 1 \) ve \( y = 1 \) yazarsak:

\( (1 + 1)^n = C(n,0)1^n1^0 + C(n,1)1^{n-1}1^1 + \dots + C(n,n)1^01^n \)

Bu da bize:

\( 2^n = C(n,0) + C(n,1) + \dots + C(n,n) \) sonucunu verir.

🔢 Örnekler

📌 n = 3 için:

• \( C(3,0) = 1 \)
• \( C(3,1) = 3 \)
• \( C(3,2) = 3 \)
• \( C(3,3) = 1 \)

Toplam: \( 1 + 3 + 3 + 1 = 8 \) ve \( 2^3 = 8 \) ✅

📌 n = 4 için:

• \( C(4,0) = 1 \)
• \( C(4,1) = 4 \)
• \( C(4,2) = 6 \)
• \( C(4,3) = 4 \)
• \( C(4,4) = 1 \)

Toplam: \( 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 \) ve \( 2^4 = 16 \) ✅

🎲 Kombinatoryal İspat

Bu eşitliği kombinatoryal olarak da anlayabiliriz:

• ➡️ C(n,k): n elemanlı bir kümeden k eleman seçme yollarının sayısı
• ➡️ Toplam kombinasyon: Tüm olası altküme sayısı
• ➡️ 2ⁿ: n elemanlı bir kümenin tüm altküme sayısı

Yani, 0 elemanlı altküme + 1 elemanlı altküme + ... + n elemanlı altküme = Tüm altkümeler

📝 Önemli Notlar

• ✨ Bu kural Pascal üçgenindeki her satırın toplamının 2'nin kuvveti olduğunu gösterir
• ✨ Kombinasyonların simetrik yapısından dolayı \( C(n,k) = C(n,n-k) \) olduğunu unutmayın
• ✨ Bu formül, olasılık ve istatistikte sıkça kullanılır