Asal çarpanları 2 ve 7 olan 100'den küçük sayıların rakamları toplamı 10 olan kaç tane sayı vardır?
A) 1Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim:
Bir sayının asal çarpanları sadece 2 ve 7 ise, bu sayı $2^a \cdot 7^b$ şeklinde yazılabilir. Burada $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmalıdır (yani $a \ge 1$ ve $b \ge 1$). Çünkü eğer $a=0$ olsaydı sayının tek asal çarpanı 7 olurdu, eğer $b=0$ olsaydı tek asal çarpanı 2 olurdu. Soru, asal çarpanları 2 ve 7 olan dediği için her iki asal çarpan da sayının içinde bulunmalıdır.
$2^a \cdot 7^b < 100$ koşulunu sağlayan sayıları bulalım:
Önce $b=1$ için deneyelim:
Eğer $a=1$ ise, $2^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 7 = 14$. (14 sayısı 100'den küçüktür.)
Eğer $a=2$ ise, $2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28$. (28 sayısı 100'den küçüktür.)
Eğer $a=3$ ise, $2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$. (56 sayısı 100'den küçüktür.)
Eğer $a=4$ ise, $2^4 \cdot 7^1 = 16 \cdot 7 = 112$. Bu sayı 100'den büyük olduğu için bu koldan daha fazla devam etmiyoruz.
Şimdi $b=2$ için deneyelim:
Eğer $a=1$ ise, $2^1 \cdot 7^2 = 2 \cdot 49 = 98$. (98 sayısı 100'den küçüktür.)
Eğer $a=2$ ise, $2^2 \cdot 7^2 = 4 \cdot 49 = 196$. Bu sayı 100'den büyük olduğu için bu koldan daha fazla devam etmiyoruz.
Eğer $b=3$ olsaydı, en küçük sayı $2^1 \cdot 7^3 = 2 \cdot 343 = 686$ olurdu ki bu da 100'den çok büyüktür. Bu yüzden daha fazla denemeye gerek yoktur.
Bu durumda, asal çarpanları 2 ve 7 olan ve 100'den küçük sayılar şunlardır: 14, 28, 56, 98.
Şimdi bu sayıların rakamları toplamının 10 olup olmadığını kontrol edelim:
14 için: Rakamları toplamı $1 + 4 = 5$. (10 değil)
28 için: Rakamları toplamı $2 + 8 = 10$. (Bu sayı koşulu sağlıyor!)
56 için: Rakamları toplamı $5 + 6 = 11$. (10 değil)
98 için: Rakamları toplamı $9 + 8 = 17$. (10 değil)
Yukarıdaki kontrol sonucunda, sadece bir tane sayının (28) tüm koşulları sağladığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
