Bir parabolün alabileceği en büyük veya en küçük değeri bulmak için, parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmamız gerekir. Tepe noktasının y-koordinatı, parabolün alabileceği en büyük veya en küçük değeri verir.
- Verilen fonksiyon bir parabol denklemidir: $f(x) = -x^2 + 4x + 1$.
- Bu denklem, genel parabol denklemi olan $ax^2 + bx + c$ formatındadır. Burada $a = -1$, $b = 4$ ve $c = 1$'dir.
- Parabolün kolları, $x^2$'nin katsayısı olan $a$ değerine göre belirlenir. Eğer $a < 0$ ise (bizim durumumuzda $a = -1$), parabolün kolları aşağıya doğrudur. Kolları aşağıya doğru olan bir parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası parabolün alabileceği en büyük değeri temsil eder.
- Tepe noktasının x-koordinatı (apsisi) $r = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur.
- Şimdi bu formülü kullanarak tepe noktasının x-koordinatını hesaplayalım: $r = -\frac{4}{2 \cdot (-1)}$.
- Hesaplamaya devam edersek: $r = -\frac{4}{-2}$.
- Sonuç olarak tepe noktasının x-koordinatı $r = 2$'dir.
- Tepe noktasının y-koordinatı (ordinatı), yani parabolün alabileceği en büyük değer, $f(r)$ değeridir. Bunun için bulduğumuz $r$ değerini ($x=2$) fonksiyonda yerine koyarız.
- $f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 1$
- $f(2) = -4 + 8 + 1$
- $f(2) = 4 + 1$
- $f(2) = 5$
- Bu durumda, parabolün alabileceği en büyük değer $5$'tir.
Cevap B seçeneğidir.
