Bir $ABC$ üçgeninde $a = 4$ cm, $b = 6$ cm ve $m(\widehat{C}) = 60^\circ$ olduğuna göre, $c$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) $2\sqrt{7}$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü verilmiş. Bizden üçüncü kenarın uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda kullanacağımız çok önemli bir teorem var: Kosinüs Teoremi.
Soruda bize şu bilgiler verilmiş:
Bizden istenen ise $c$ kenarının uzunluğudur.
Bir $ABC$ üçgeninde kenarlar $a, b, c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar $A, B, C$ olmak üzere, Kosinüs Teoremi şu şekilde ifade edilir:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
Bu formül, iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmamızı sağlar. Tam da bizim durumumuza uygun!
Şimdi verilen değerleri Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:
$c^2 = (4)^2 + (6)^2 - 2 \cdot (4) \cdot (6) \cdot \cos(60^\circ)$
Öncelikle kareleri ve çarpımları hesaplayalım:
Şimdi de $\cos(60^\circ)$ değerini hatırlayalım. Özel açılardan bildiğimiz üzere $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$'dir.
Bu değerleri formülde yerine yazalım:
$c^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2}$
Denklemi adım adım çözelim:
$c^2 = 28$ olduğuna göre, $c$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:
$c = \sqrt{28}$
Karekök içindeki sayıyı sadeleştirebiliriz. $28 = 4 \cdot 7$ olduğu için:
$c = \sqrt{4 \cdot 7}$
$c = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7}$
$c = 2\sqrt{7}$ cm
Böylece $c$ kenarının uzunluğunu $2\sqrt{7}$ cm olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
