İOKBS 11. Sınıf Matematik: Bursluluk Sınavına Ne Zaman Çalışmaya Başlamalı? Test 1

Analitik düzlemde $d_1: ax + 3y - 1 = 0$ ve $d_2: 2x - 6y + 5 = 0$ doğruları birbirine dik olduğuna göre, $a$ kaçtır?

A) $3$
B) $6$
C) $7$
D) $9$
E) $12$

Analitik düzlemde doğruların birbirine dik olma şartını kullanarak $a$ değerini bulacağız. İki doğru birbirine dik ise, bu doğruların eğimleri çarpımı $-1$'e eşittir. Ancak, doğrular genel denklem formunda ($Ax + By + C = 0$) verildiğinde, daha pratik bir yöntem de vardır: Eğer $d_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ ve $d_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ doğruları birbirine dik ise, katsayıları arasında $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ bağıntısı vardır. Bu yöntemi kullanarak soruyu adım adım çözelim:

• Birinci Doğrunun Katsayılarını Belirleyelim:

  Verilen birinci doğru $d_1: ax + 3y - 1 = 0$ denkleminden $x$'in katsayısı $A_1$ ve $y$'nin katsayısı $B_1$'i belirleyelim:

  $A_1 = a$

  $B_1 = 3$

• İkinci Doğrunun Katsayılarını Belirleyelim:

  Verilen ikinci doğru $d_2: 2x - 6y + 5 = 0$ denkleminden $x$'in katsayısı $A_2$ ve $y$'nin katsayısı $B_2$'yi belirleyelim:

  $A_2 = 2$

  $B_2 = -6$

• Diklik Şartını Uygulayalım:

  Doğrular birbirine dik olduğu için, katsayıları arasında $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ bağıntısı geçerlidir. Belirlediğimiz katsayıları bu bağıntıda yerine yazalım:

  $(a)(2) + (3)(-6) = 0$

• Denklemi Çözerek $a$ Değerini Bulalım:

  Yukarıdaki denklemi $a$ için adım adım çözelim:

  $2a - 18 = 0$

  $2a = 18$

  $a = \frac{18}{2}$

  $a = 9$

Buna göre, $a$ değeri $9$'dur.

Cevap D seçeneğidir.