Bir $ABC$ üçgeninin kenar uzunlukları $a = 6$ br, $b = 8$ br ve $c = 10$ br'dir. Buna göre $\sin(\widehat{A}) + \cos(\widehat{B})$ toplamının değeri kaçtır?
A) $\frac{3}{5}$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, kenar uzunlukları verilen bir üçgenin iki açısının sinüs ve kosinüs değerlerinin toplamını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Üçgenin kenar uzunlukları $a = 6$ br, $b = 8$ br ve $c = 10$ br olarak verilmiş. Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor teoremini kontrol edebiliriz: $a^2 + b^2 = c^2$.
Verilen değerleri yerine yazalım:
Gördüğümüz gibi, $6^2 + 8^2 = 10^2$ eşitliği sağlanıyor. Bu durumda, üçgenimiz bir dik üçgendir ve dik açı, en uzun kenar olan $c$'nin karşısındaki $\widehat{C}$ açısıdır. Yani, $\widehat{C} = 90^\circ$.
Dik üçgende bir açının sinüsü, karşı dik kenarın hipotenüse oranına eşittir. $\widehat{A}$ açısının karşısındaki kenar $a=6$ ve hipotenüs $c=10$'dur.
Bu durumda:
$\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Dik üçgende bir açının kosinüsü, komşu dik kenarın hipotenüse oranına eşittir. $\widehat{B}$ açısının komşu dik kenarı $a=6$ ve hipotenüs $c=10$'dur.
Bu durumda:
$\cos(\widehat{B}) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Ayrıca, dik üçgende $\widehat{A} + \widehat{B} = 90^\circ$ olduğu için, $\cos(\widehat{B}) = \sin(\widehat{A})$ olduğunu da biliyoruz. Bu da bulduğumuz değerleri doğrular.
Şimdi bizden istenen $\sin(\widehat{A}) + \cos(\widehat{B})$ toplamını bulalım:
$\sin(\widehat{A}) + \cos(\widehat{B}) = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = \frac{3+3}{5} = \frac{6}{5}$
Böylece, $\sin(\widehat{A}) + \cos(\widehat{B})$ toplamının değeri $\frac{6}{5}$ olarak bulunur.
Cevap D seçeneğidir.
