Bir $ABC$ üçgeninde $A$ açısına ait iç açıortay $[AN]$'dir. $|AB| = c$ ve $|AC| = b$ olmak üzere, $c < b$ olduğu biliniyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) $|BN| > |NC|$
B) $m(\widehat{B}) < m(\widehat{C})$
C) $|BN| < |NC|$
D) $|AN| > |AC|$
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Bir $ABC$ üçgenimiz var.
- $[AN]$, $A$ açısına ait iç açıortaydır. Bu, $AN$ doğrusunun $A$ açısını iki eşit parçaya böldüğü anlamına gelir, yani $m(\widehat{BAN}) = m(\widehat{CAN})$.
- $|AB| = c$ ve $|AC| = b$ olarak verilmiş.
- Önemli bir bilgi: $c < b$ olduğu biliniyor. Yani $|AB| < |AC|$.
- Bizden kesinlikle doğru olan ifadeyi bulmamız isteniyor.
- 2. Açıortay Teoremini Hatırlayalım:
- Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler.
- $[AN]$ açıortayı için bu teorem bize şunu söyler: $\frac{|BN|}{|NC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$.
- Verilen kenar uzunluklarını yerine yazarsak: $\frac{|BN|}{|NC|} = \frac{c}{b}$ olur.
- 3. Verilen Eşitsizliği Kullanalım:
- Soruda bize $c < b$ olduğu bilgisi verilmişti.
- Eğer $c < b$ ise, o zaman $\frac{c}{b}$ oranı $1$'den küçüktür. Yani $\frac{c}{b} < 1$.
- Açıortay teoreminden bulduğumuz $\frac{|BN|}{|NC|} = \frac{c}{b}$ eşitliğini kullanarak, $\frac{|BN|}{|NC|} < 1$ sonucuna ulaşırız.
- Bu eşitsizliği düzenlersek, $|BN| < |NC|$ elde ederiz.
- 4. Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) $|BN| > |NC|$: Bizim bulduğumuz $|BN| < |NC|$ eşitsizliği ile çelişmektedir. Dolayısıyla A seçeneği yanlıştır.
- B) $m(\widehat{B}) < m(\widehat{C})$: Bir üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı, küçük kenarın karşısında küçük açı bulunur. Bizim üçgenimizde $|AB|=c$ kenarı $\widehat{C}$ açısının karşısındadır ve $|AC|=b$ kenarı $\widehat{B}$ açısının karşısındadır. $c < b$ olduğu için, $c$'nin karşısındaki açı olan $m(\widehat{C})$'nin, $b$'nin karşısındaki açı olan $m(\widehat{B})$'den küçük olması gerekir. Yani $m(\widehat{C}) < m(\widehat{B})$ olmalıdır. B seçeneği bunun tersini iddia ettiği için yanlıştır.
- C) $|BN| < |NC|$: Bu ifade, Açıortay Teoremi ve $c < b$ eşitsizliğini kullanarak bulduğumuz sonuçla tamamen aynıdır. Dolayısıyla C seçeneği kesinlikle doğrudur.
- D) $|AN| > |AC|$: Bu ifade, açıortayın uzunluğu ile üçgenin bir kenarını karşılaştırmaktadır. Bu tür bir karşılaştırma için daha fazla bilgiye veya özel bir duruma ihtiyacımız vardır. Örneğin, $\triangle ANC$ üçgeninde kenar-açı ilişkisine bakarsak, $|AN|$ kenarı $m(\widehat{C})$ açısının karşısında, $|AC|$ kenarı ise $m(\widehat{ANC})$ açısının karşısındadır. $m(\widehat{ANC}) = m(\widehat{B}) + m(\widehat{BAN})$ olduğunu biliyoruz. $m(\widehat{C})$ ile $m(\widehat{B}) + m(\widehat{BAN})$ arasındaki ilişki her zaman $|AN| > |AC|$ sonucunu vermez. Örneğin, $A=60^\circ$, $B=80^\circ$, $C=40^\circ$ olan bir üçgende $c
Yukarıdaki adımları takip ettiğimizde, Açıortay Teoremi ve verilen $c < b$ eşitsizliği sayesinde kesinlikle doğru olan ifadenin $|BN| < |NC|$ olduğunu buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
