Yeni Nesil: Açıortay Teoremi ve Açı Kenar Bağıntıları İlişkisi Test 1

$ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortaydır. $|BD| = 3$ cm ve $|DC| = 4$ cm'dir. $|AB| + |AC| = 21$ cm olduğuna göre, $|AC|$ kaç cm'dir?

A) $9$
B) $12$
C) $10$
D) $15$

Bu soruyu çözmek için üçgende iç açıortay teoremini kullanacağız. İç açıortay teoremi, bir üçgende bir açının açıortayının karşı kenarı kestiği noktada, karşı kenarı ayırdığı parçaların oranının, diğer iki kenarın oranına eşit olduğunu belirtir. Bu teorem, geometri problemlerinde kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri bulmamızı sağlar.

• Soruda verilen bilgilere göre, $ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortaydır. $|BD| = 3$ cm, $|DC| = 4$ cm ve $|AB| + |AC| = 21$ cm'dir. Bizden $|AC|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
• İç Açıortay Teoremi'ne göre, $AD$ açıortay olduğu için kenarlar arasındaki oran şu şekildedir:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$

• Şimdi, soruda verilen $|BD| = 3$ cm ve $|DC| = 4$ cm değerlerini bu orana yerleştirelim:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{3}{4}$

• Bu oran bize $|AB|$ ve $|AC|$ kenar uzunlukları arasında bir ilişki verir. Bu kenarları, bir $k$ sabiti kullanarak daha somut bir şekilde ifade edebiliriz:

  $|AB| = 3k$

  $|AC| = 4k$

• Daha sonra, soruda verilen diğer önemli bilgi olan $|AB| + |AC| = 21$ cm eşitliğini kullanalım. Bulduğumuz $3k$ ve $4k$ ifadelerini bu denkleme yerine yazalım:

  $3k + 4k = 21$

• Bu denklemi çözerek $k$ değerini bulalım:

  $7k = 21$

  $k = \frac{21}{7}$

  $k = 3$

• Son olarak, bizden istenen $|AC|$ uzunluğunu bulmak için bulduğumuz $k = 3$ değerini $|AC| = 4k$ ifadesinde yerine koyalım:

  $|AC| = 4 \times 3$

  $|AC| = 12$ cm

Cevap B seçeneğidir.