Yeni Nesil: Açıortay Teoremi ve Açı Kenar Bağıntıları İlişkisi Test 1

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortaydır. $|AB| = c$, $|AC| = b$, $|BD| = m$ ve $|DC| = n$ olarak verilmiştir. $c > b$ olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) $m > n$
B) $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B})$
C) $|AD| < c$
D) $m < n$

• Bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortay olduğuna göre, Açıortay Teoremi'ni kullanabiliriz. Açıortay Teoremi'ne göre, bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler. Yani, $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$ eşitliği geçerlidir.
• Verilen kenar uzunluklarını yerine yazarsak: $\frac{c}{b} = \frac{m}{n}$ olur.
• Şimdi her bir seçeneği inceleyelim:
• A) $m > n$
  • Bize $c > b$ olduğu verilmiştir.
  • Eşitsizliğin her iki tarafını $b$ ile bölersek ( $b$ bir kenar uzunluğu olduğu için pozitif bir sayıdır), $\frac{c}{b} > 1$ elde ederiz.
  • Açıortay Teoremi'nden $\frac{c}{b} = \frac{m}{n}$ olduğunu biliyoruz.
  • Dolayısıyla, $\frac{m}{n} > 1$ olur. Bu da $m > n$ anlamına gelir ( $n$ de bir uzunluk olduğu için pozitiftir).
  • Bu ifade doğrudur.
• B) $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B})$
  • Bir üçgende büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur.
  • $\triangle ABC$'de, $\widehat{C}$ açısının karşısındaki kenar $|AB| = c$'dir.
  • $\widehat{B}$ açısının karşısındaki kenar $|AC| = b$'dir.
  • Bize $c > b$ olduğu verildiği için, $c$ kenarının karşısındaki açı olan $m(\widehat{C})$'nin, $b$ kenarının karşısındaki açı olan $m(\widehat{B})$'den daha büyük olması gerekir.
  • Yani, $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B})$ ifadesi doğrudur.
• C) $|AD| < c$
  • $\triangle ABD$ üçgenini ele alalım. Bu üçgenin kenarları $|AD|$, $|BD|=m$ ve $|AB|=c$'dir.
  • Bu üçgende $|AD|$ kenarının karşısındaki açı $m(\widehat{B})$'dir.
  • $c$ kenarının karşısındaki açı ise $m(\widehat{ADB})$'dir.
  • $m(\widehat{ADB})$ açısı, $\triangle ACD$ üçgeninin dış açısıdır. Bir üçgende dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
  • Bu durumda $m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{C}) + m(\widehat{CAD})$ olur.
  • $[AD]$ açıortay olduğu için $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD})$'dir. Bu açıya $\alpha$ diyelim. Yani $m(\widehat{CAD}) = \alpha$.
  • O halde, $m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{C}) + \alpha$ olur.
  • B seçeneğinde $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B})$ olduğunu bulmuştuk.
  • Ayrıca $\alpha$ bir açıortay açısı olduğu için $\alpha > 0$'dır.
  • Bu durumda $m(\widehat{ADB}) = m(\widehat{C}) + \alpha > m(\widehat{C})$ olur.
  • $m(\widehat{ADB}) > m(\widehat{C})$ ve $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B})$ eşitsizliklerini birleştirirsek, $m(\widehat{ADB}) > m(\widehat{B})$ sonucuna ulaşırız.
  • $\triangle ABD$ üçgeninde, büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. $m(\widehat{ADB}) > m(\widehat{B})$ olduğu için, $m(\widehat{ADB})$'nin karşısındaki kenar olan $c$, $m(\widehat{B})$'nin karşısındaki kenar olan $|AD|$'den daha büyük olmalıdır.
  • Yani, $c > |AD|$ veya $|AD| < c$ ifadesi doğrudur.
• D) $m < n$
  • A seçeneğinde yaptığımız incelemede, Açıortay Teoremi ve $c > b$ bilgisini kullanarak $m > n$ sonucuna ulaşmıştık.
  • $m < n$ ifadesi, $m > n$ ifadesiyle çelişmektedir.
  • Bu nedenle, $m < n$ ifadesi yanlıştır.

Cevap D seçeneğidir.