Bir belediye, uzunluğu $2^{10}$ metre olan düz bir yolun her iki yanına, yolun başında ve sonunda da olmak şartıyla $2^4$ metre aralıklarla ağaç dikecektir. Buna göre toplam kaç ağaç dikilir?
A) $2^6 + 1$Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu problemde, belirli bir uzunluktaki yolun her iki tarafına, belirli aralıklarla ağaç dikme işlemini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek doğru cevaba ulaşalım.
Yolun toplam uzunluğu $2^{10}$ metredir. Ağaçlar $2^4$ metre aralıklarla dikilecektir. Yolun bir tarafındaki kaç tane aralık olduğunu bulmak için toplam uzunluğu aralık uzunluğuna böleriz.
Aralık sayısı = $\frac{\text{Yol Uzunluğu}}{\text{Aralık Uzunluğu}}$
Aralık sayısı = $\frac{2^{10}}{2^4}$
Üslü sayılarda bölme işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler çıkarılır:
Aralık sayısı = $2^{10-4} = 2^6$ adet.
Ağaçlar yolun başında ve sonunda da dikileceği için, aralık sayısından bir fazla ağaç dikilir. Örneğin, 1 aralık için 2 ağaç (başlangıç ve son), 2 aralık için 3 ağaç (başlangıç, orta, son) gerekir. Genel olarak, $N$ aralık için $N+1$ ağaç gerekir.
Bir tarafa dikilecek ağaç sayısı = (Aralık sayısı) + 1
Bir tarafa dikilecek ağaç sayısı = $2^6 + 1$ adet.
Problemde ağaçların yolun "her iki yanına" dikileceği belirtilmiştir. Bu durumda, bir tarafa dikilen ağaç sayısının iki katı kadar ağaç dikilecektir.
Toplam ağaç sayısı = 2 $\times$ (Bir tarafa dikilecek ağaç sayısı)
Toplam ağaç sayısı = 2 $\times$ $(2^6 + 1)$
Şimdi bu ifadeyi dağıtalım:
Toplam ağaç sayısı = $(2 \times 2^6) + (2 \times 1)$
Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır ($2 = 2^1$):
Toplam ağaç sayısı = $2^{1+6} + 2$
Toplam ağaç sayısı = $2^7 + 2$ adet.
Bu durumda, toplam $2^7 + 2$ ağaç dikilecektir.
Cevap B seçeneğidir.
