TYT Olasılık: Permütasyon ve Kombinasyon İlişkisi Nedir? Test 1

5 doktor ve 4 hemşire arasından rastgele seçilen 3 kişilik bir sağlık ekibinde en az 2 doktor bulunma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{5}{14}$
B) $\frac{25}{42}$
C) $\frac{1}{2}$
D) $\frac{2}{3}$
E) $\frac{31}{42}$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir grup içinden belirli koşullara uyan bir ekip seçme olasılığını hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Toplam Kişi Sayısını ve Seçilecek Ekip Büyüklüğünü Belirleyelim

  Elimizde 5 doktor ve 4 hemşire var. Toplam kişi sayısı $5 + 4 = 9$ kişidir. Bu 9 kişi arasından 3 kişilik bir sağlık ekibi seçeceğiz.

• Adım 2: Tüm Olası Ekip Seçimlerinin Sayısını (Örnek Uzayı) Bulalım

  9 kişi arasından 3 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir? Bu bir kombinasyon problemidir ve $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ formülü ile hesaplanır.

  Tüm durumların sayısı: $C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$.

  Yani, 3 kişilik bir ekip 84 farklı şekilde oluşturulabilir.

• Adım 3: İstenen Durumları (En Az 2 Doktor Bulunması) Belirleyelim

  Soruda "en az 2 doktor bulunma olasılığı" isteniyor. Bu şu anlama gelir:

  • Ekipte tam olarak 2 doktor ve 1 hemşire olabilir.
  • Veya ekipte tam olarak 3 doktor ve 0 hemşire olabilir.
• Adım 4: Her Bir İstenen Durumun Sayısını Hesaplayalım
  • Durum 1: Ekipte 2 doktor ve 1 hemşire olması

    5 doktor arasından 2 doktor seçme sayısı: $C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

    4 hemşire arasından 1 hemşire seçme sayısı: $C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$.

    Bu durumdaki ekip sayısı: $10 \times 4 = 40$.

  • Durum 2: Ekipte 3 doktor ve 0 hemşire olması

    5 doktor arasından 3 doktor seçme sayısı: $C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

    4 hemşire arasından 0 hemşire seçme sayısı: $C(4, 0) = 1$.

    Bu durumdaki ekip sayısı: $10 \times 1 = 10$.

• Adım 5: Tüm İstenen Durumların Toplam Sayısını Bulalım

  En az 2 doktor bulunan ekip sayısı, Durum 1 ve Durum 2'nin toplamıdır:

  Toplam istenen durum sayısı = $40 + 10 = 50$.

• Adım 6: Olasılığı Hesaplayalım

  Olasılık, istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına oranıdır:

  Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durum Sayısı}} = \frac{50}{84}$.

  Bu kesri sadeleştirelim (her iki tarafı da 2'ye bölelim):

  Olasılık = $\frac{25}{42}$.

Cevap B seçeneğidir.