Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, olasılık konusundaki temel bilgilerimizi ve kombinasyon hesaplama yeteneğimizi ölçüyor. Bir gruptan belirli özelliklere sahip kişilerin seçilme olasılığını adım adım nasıl hesaplayacağımızı görelim.
- Adım 1: Toplam Olası Komite Sayısını Bulma
- Öncelikle, 3 erkek ve 3 kadından oluşan toplam 6 kişilik bir gruptan rastgele 3 kişilik bir komitenin kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplamamız gerekiyor. Bu bir kombinasyon problemidir, çünkü kişilerin seçilme sırası önemli değildir.
- Toplam kişi sayısı $n=6$ ve seçilecek kişi sayısı $k=3$'tür. Kombinasyon formülü $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.
- $C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20$.
- Yani, toplam 20 farklı 3 kişilik komite oluşturulabilir. Bu, olasılık hesaplamamızın paydası olacaktır.
- Adım 2: İstenen Duruma Uygun Komite Sayısını Bulma
- Soruda bizden "seçilen komitede en az 2 kadın bulunma" olasılığı isteniyor. "En az 2 kadın" demek, komitede ya tam olarak 2 kadın ya da tam olarak 3 kadın bulunması demektir. Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyip toplayacağız.
- Durum 2a: Komitede tam olarak 2 kadın ve 1 erkek bulunması
- 3 kadından 2 kadın seçimi: $C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$.
- 3 erkekten 1 erkek seçimi: $C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(1)(2 \times 1)} = 3$.
- Bu durumda oluşturulabilecek komite sayısı: $C(3, 2) \times C(3, 1) = 3 \times 3 = 9$.
- Durum 2b: Komitede tam olarak 3 kadın ve 0 erkek bulunması
- 3 kadından 3 kadın seçimi: $C(3, 3) = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 1$. (Unutmayın, $0! = 1$)
- 3 erkekten 0 erkek seçimi: $C(3, 0) = \frac{3!}{0!(3-0)!} = \frac{3!}{0!3!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(1)(3 \times 2 \times 1)} = 1$.
- Bu durumda oluşturulabilecek komite sayısı: $C(3, 3) \times C(3, 0) = 1 \times 1 = 1$.
- Toplam İstenen Duruma Uygun Komite Sayısı:
- Durum 2a'dan 9 komite ve Durum 2b'den 1 komite olmak üzere, toplamda $9 + 1 = 10$ komite, en az 2 kadın içermektedir. Bu, olasılık hesaplamamızın payı olacaktır.
- Adım 3: Olasılığı Hesaplama
- Olasılık, istenen durum sayısının toplam durum sayısına oranıdır.
- Olasılık = $\frac{\text{İstenen Duruma Uygun Komite Sayısı}}{\text{Toplam Olası Komite Sayısı}} = \frac{10}{20}$.
- Bu kesri sadeleştirdiğimizde: $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
Bu da demek oluyor ki, seçilen komitede en az 2 kadın bulunma olasılığı $\frac{1}{2}$'dir.
Cevap D seçeneğidir.
