KPSS İçin Permütasyon Kombinasyon Olasılık: Hızlı Çözüm Teknikleri Test 1

İki zar aynı anda havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının $8$ olduğu bilindiğine göre, bu sayılardan en az birinin $5$ olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{1}{5}$
B) $\frac{2}{5}$
C) $\frac{3}{5}$
D) $\frac{1}{6}$
E) $\frac{2}{9}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problem, koşullu olasılık kavramını anlamamız için harika bir fırsat sunuyor. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.

• Adım 1: Tüm olası durumları belirleyelim.

  İki zar atıldığında, her bir zar $1$ ile $6$ arasında bir değer alabilir. Toplamda $6 \times 6 = 36$ farklı sonuç vardır. Ancak soruda bize bir bilgi verilmiş: "Üst yüze gelen sayıların toplamının $8$ olduğu bilindiğine göre..." Bu bilgi, bizim için olası durumlar kümesini daraltır. Artık tüm $36$ durumu değil, sadece toplamı $8$ olan durumları inceleyeceğiz.

• Adım 2: Toplamı $8$ olan durumları listeleyelim.

  İki zarın üst yüzüne gelen sayıların toplamının $8$ olduğu durumlar şunlardır:

  • Birinci zar $2$, ikinci zar $6$: $(2, 6)$
  • Birinci zar $3$, ikinci zar $5$: $(3, 5)$
  • Birinci zar $4$, ikinci zar $4$: $(4, 4)$
  • Birinci zar $5$, ikinci zar $3$: $(5, 3)$
  • Birinci zar $6$, ikinci zar $2$: $(6, 2)$

  Gördüğünüz gibi, toplamı $8$ olan tam $5$ farklı durum vardır. Bu, bizim yeni örnek uzayımızdır.

• Adım 3: İstenen durumu belirleyelim.

  Şimdi bu $5$ durum içinden, bizden istenen koşulu sağlayanları bulmalıyız. İstenen koşul: "bu sayılardan en az birinin $5$ olma olasılığı". Yani, yukarıdaki $5$ durumdan hangilerinde en az bir tane $5$ sayısı var?

• Adım 4: İstenen koşulu sağlayan durumları listeleyelim.

  Toplamı $8$ olan ve en az birinde $5$ bulunan durumlar şunlardır:

  • $(3, 5)$ (Burada bir tane $5$ var.)
  • $(5, 3)$ (Burada da bir tane $5$ var.)

  Bu koşulu sağlayan $2$ durum vardır.

• Adım 5: Olasılığı hesaplayalım.

  Olasılık, istenen durumların sayısının, tüm olası durumların sayısına oranıdır. Bu problemde, tüm olası durumlar (toplamın $8$ olduğu durumlar) $5$ tanedir. İstenen durumlar (toplamın $8$ olduğu ve en az birinin $5$ olduğu durumlar) $2$ tanedir.

  O halde, olasılık $P = \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Tüm olası durum sayısı}} = \frac{2}{5}$ olarak bulunur.

Cevap B seçeneğidir.