Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir dairenin alanı ile çevresinin sayısal değerlerinin eşit olduğu bilgisi verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak dairenin yarıçapını bulacağız. Ardından, bulduğumuz yarıçapın geometrik ortalaması ile aritmetik ortalamasının oranını hesaplayacağız.
- Adım 1: Dairenin yarıçapını ($r$) bulalım.
- Bir dairenin alanı $A = \pi r^2$ formülüyle hesaplanır.
- Bir dairenin çevresi $C = 2\pi r$ formülüyle hesaplanır.
- Soruda, dairenin alanı ile çevresinin sayısal değerlerinin eşit olduğu belirtilmiştir. Bu durumda:
$A = C$
$\pi r^2 = 2\pi r$
- Eşitliğin her iki tarafını $\pi r$ ile bölelim. (Yarıçap $r$ bir uzunluk olduğu için sıfırdan büyük olmalıdır, bu yüzden $\pi r \neq 0$ diyebiliriz.)
$\frac{\pi r^2}{\pi r} = \frac{2\pi r}{\pi r}$
$r = 2$
- Buna göre, dairenin yarıçapı $2$ birimdir.
- Adım 2: Yarıçapın geometrik ortalamasını (GO) ve aritmetik ortalamasını (AO) bulalım.
- Soruda "yarıçapının geometrik ortalaması ile aritmetik ortalaması" ifadesi kullanılmıştır. Bir sayının (burada yarıçapın değeri olan $r$) kendisiyle olan geometrik ortalaması ve aritmetik ortalaması, o sayının kendisine eşittir. Yani, $a=r$ ve $b=r$ olarak düşünebiliriz.
- İki sayının, $a$ ve $b$'nin geometrik ortalaması $GO = \sqrt{ab}$ formülüyle bulunur. Yarıçap için ($a=r$, $b=r$):
$GO = \sqrt{r \cdot r} = \sqrt{r^2} = r$
- İki sayının, $a$ ve $b$'nin aritmetik ortalaması $AO = \frac{a+b}{2}$ formülüyle bulunur. Yarıçap için ($a=r$, $b=r$):
$AO = \frac{r+r}{2} = \frac{2r}{2} = r$
- Yarıçapı $r=2$ olarak bulduğumuz için:
Yarıçapın Geometrik Ortalaması ($GO$) $= 2$
Yarıçapın Aritmetik Ortalaması ($AO$) $= 2$
- Adım 3: Geometrik ortalamanın aritmetik ortalamaya oranını hesaplayalım.
- Oran = $\frac{\text{Geometrik Ortalaması}}{\text{Aritmetik Ortalaması}}$
- Oran = $\frac{GO}{AO}$
- Oran = $\frac{r}{r}$
- Oran = $\frac{2}{2}$
- Oran = $1$
Cevap C seçeneğidir.
