Geometrik ortalama nedir Test 1

Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 2, 6 ve x'tir. Bu üç sayının geometrik ortalaması 6 olduğuna göre, prizmanın hacmi kaçtır?

A) 72
B) 108
C) 144
D) 216

Bu soruda, bir dikdörtgenler prizmasının boyutları ve bu boyutların geometrik ortalaması verilmiş. Bizden prizmanın hacmini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Geometrik Ortalama Tanımını Uygulayalım.
• Üç sayının (2, 6 ve x) geometrik ortalaması, bu sayıların çarpımının küpköküne eşittir. Soruda bu ortalamanın 6 olduğu belirtilmiştir.
• Matematiksel olarak şöyle ifade ederiz: $ \sqrt[3]{2 \cdot 6 \cdot x} = 6 $
• Bu ifadeyi biraz daha düzenleyelim: $ \sqrt[3]{12x} = 6 $
• Adım 2: Bilinmeyen x Değerini Bulalım.
• Eşitliğin her iki tarafının küpünü alarak küpkökten kurtulabiliriz.
• $ ( \sqrt[3]{12x} )^3 = 6^3 $
• Bu işlem bize şunu verir: $ 12x = 216 $
• Şimdi x'i bulmak için 216'yı 12'ye bölelim: $ x = \frac{216}{12} $
• Bölme işlemini yaptığımızda $ x = 18 $ sonucunu elde ederiz.
• Yani, dikdörtgenler prizmasının üçüncü boyutu 18 birimdir.
• Adım 3: Prizmanın Hacmini Hesaplayalım.
• Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç boyutunun (uzunluk, genişlik, yükseklik) çarpımına eşittir.
• Prizmanın boyutları artık 2, 6 ve 18 olarak biliniyor.
• Hacim (V) formülü: $ V = uzunluk \cdot genislik \cdot yukseklik $
• Değerleri yerine yazalım: $ V = 2 \cdot 6 \cdot 18 $
• İlk olarak 2 ile 6'yı çarpalım: $ V = 12 \cdot 18 $
• Şimdi 12 ile 18'i çarpalım: $ V = 216 $
• Böylece prizmanın hacmini 216 birimküp olarak buluruz.

Cevap D seçeneğidir.