Bileşke vektör nedir (Net vektör) Test 1

Aralarındaki açı 60° olan iki kuvvetin bileşkesi, kuvvetlerden birinin \(\sqrt{3}\) katına eşittir. Kuvvetlerin büyüklükleri oranı \(F_1/F_2\) kaçtır?

A) 1
B) \(\sqrt{3}\)
C) 2
D) 3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, aralarındaki açı bilinen iki kuvvetin bileşkesi ile ilgili bir problemle karşılaşıyoruz. Kuvvetlerin büyüklükleri oranını bulmak için bileşke kuvvet formülünü kullanacağız. Haydi adım adım bu problemi çözelim:

• 1. Bileşke Kuvvet Formülünü Hatırlayalım:

  İki kuvvet $F_1$ ve $F_2$ arasındaki açı $\theta$ olduğunda, bileşke kuvvet $R$'nin büyüklüğü aşağıdaki formülle bulunur:

  $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos\theta$

• 2. Verilen Bilgileri Yerine Koyalım:

  Soruda verilenler:

  • Açı $\theta = 60^\circ$.
  • Bileşke kuvvet $R$, kuvvetlerden birinin $\sqrt{3}$ katına eşit. Bu durumda $R = \sqrt{3} F_1$ veya $R = \sqrt{3} F_2$ alabiliriz. Çözümün tutarlılığını sağlamak için $R = \sqrt{3} F_1$ alalım. (Diğer seçeneği alsak da sonuç değişmeyecektir.)
  • $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ olduğunu biliyoruz.

  Şimdi bu değerleri formülde yerine yazalım:

  $(\sqrt{3} F_1)^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(60^\circ)$

  $3 F_1^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \left(\frac{1}{2}\right)$

• 3. Denklemi Sadeleştirelim:

  Denklemi daha basit bir hale getirelim:

  $3 F_1^2 = F_1^2 + F_2^2 + F_1 F_2$

  Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım:

  $3 F_1^2 - F_1^2 - F_1 F_2 - F_2^2 = 0$

  $2 F_1^2 - F_1 F_2 - F_2^2 = 0$

• 4. Oranı Bulmak İçin Denklemi Düzenleyelim:

  Bizden $F_1/F_2$ oranını bulmamız isteniyor. Bu denklemi $F_2^2$ ile bölersek, $F_1/F_2$ oranına bağlı bir denklem elde ederiz ( $F_2 \neq 0$ olduğunu varsayıyoruz, çünkü kuvvetin büyüklüğü sıfır olsaydı problem anlamsız olurdu):

  $\frac{2 F_1^2}{F_2^2} - \frac{F_1 F_2}{F_2^2} - \frac{F_2^2}{F_2^2} = 0$

  $2 \left(\frac{F_1}{F_2}\right)^2 - \left(\frac{F_1}{F_2}\right) - 1 = 0$

• 5. Kuadratik Denklemi Çözelim:

  Şimdi $x = F_1/F_2$ dersek, denklemimiz bir kuadratik denklem halini alır:

  $2x^2 - x - 1 = 0$

  Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:

  $(2x + 1)(x - 1) = 0$

  Buradan iki olası çözüm elde ederiz:

  • $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$
  • $x - 1 = 0 \implies x = 1$
• 6. Fiziksel Anlamlı Çözümü Seçelim:

  Kuvvetlerin büyüklükleri pozitif olduğu için, oranları da pozitif olmalıdır. Bu nedenle $x = F_1/F_2$ oranı pozitif olan değeri almalıyız.

  $F_1/F_2 = 1$

  Bu, $F_1 = F_2$ anlamına gelir.

Bu durumda, kuvvetlerin büyüklükleri oranı $F_1/F_2 = 1$'dir.

Cevap A seçeneğidir.