\( \frac{x-3}{x+2} > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-\infty, -2) \cup (3, \infty) \)
B) \( (-2, 3) \)
C) \( (-\infty, 3) \)
D) \( (-2, \infty) \)
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, rasyonel bir ifadenin sıfırdan büyük olduğu bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu pekiştirelim.
- 1. Adım: Kritik Noktaları Bulma
- Eşitsizliklerde çözüm kümesini bulmak için öncelikle ifadeyi sıfır yapan değerleri (kritik noktaları) belirlememiz gerekir. Bu noktalar, ifadenin işaret değiştirebileceği noktalardır.
- Payı sıfır yapan değer: $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$
- Paydayı sıfır yapan değer: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$
- Bu kritik noktalar $x=-2$ ve $x=3$'tür.
- 2. Adım: İşaret Tablosu Oluşturma
- Bulduğumuz kritik noktaları sayı doğrusu üzerinde küçükten büyüğe doğru sıralayarak aralıklar oluştururuz. Bu aralıkların her birinde eşitsizliğin işaretini inceleyeceğiz.
- Kritik noktalarımız: $-2$ ve $3$.
- İfade $ \frac{x-3}{x+2} $ şeklindedir.
- Şimdi her bir aralıkta ifadenin işaretini belirleyelim:
- a) $x > 3$ için: Örneğin $x=4$ alalım. $ \frac{4-3}{4+2} = \frac{1}{6} $. Bu değer $0$'dan büyüktür (pozitif).
- b) $-2 < x < 3$ için: Örneğin $x=0$ alalım. $ \frac{0-3}{0+2} = \frac{-3}{2} $. Bu değer $0$'dan küçüktür (negatif).
- c) $x < -2$ için: Örneğin $x=-3$ alalım. $ \frac{-3-3}{-3+2} = \frac{-6}{-1} = 6 $. Bu değer $0$'dan büyüktür (pozitif).
- Kritik noktalar paydayı sıfır yaptığı için ($x=-2$) veya eşitsizlik sadece "büyüktür" ($>$) olduğu için çözüm kümesine dahil edilmezler. Bu yüzden sayı doğrusunda bu noktaları içi boş daire ile gösteririz.
- 3. Adım: Çözüm Kümesini Belirleme
- Soru bizden $ \frac{x-3}{x+2} > 0 $ olmasını istiyor, yani ifadenin pozitif olduğu aralıkları bulmalıyız.
- İşaret tablosuna göre ifadenin pozitif olduğu aralıklar:
- $x < -2$, yani $ (-\infty, -2) $ aralığı.
- $x > 3$, yani $ (3, \infty) $ aralığı.
- Bu iki aralığın birleşimi, eşitsizliğin çözüm kümesini oluşturur.
- Çözüm kümesi: $ (-\infty, -2) \cup (3, \infty) $
Bu çözüm kümesi, seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
