K = (-2, 3] ve L = [0, 5) aralıkları veriliyor. K ∩ L kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 5Bu soruda, verilen iki aralığın kesişim kümesinin eleman sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim ve bu kavramları netleştirelim.
1. Aralıkların Anlamını Anlayalım:
Verilen aralıklar gerçek sayılar kümesi üzerindeki belirli bölgeleri temsil eder:
Aralık $K = (-2, 3]$ demek, $-2$ sayısından büyük ve $3$ sayısına eşit veya $3$'ten küçük olan tüm gerçek sayıları içerir. Matematiksel olarak bunu $x \in \mathbb{R}$ için $-2 < x \le 3$ şeklinde ifade ederiz. Burada parantez '(', sayının aralığa dahil olmadığını; köşeli parantez ']', sayının aralığa dahil olduğunu gösterir.
Aralık $L = [0, 5)$ demek, $0$ sayısına eşit veya $0$'dan büyük ve $5$ sayısından küçük olan tüm gerçek sayıları içerir. Matematiksel olarak bunu $x \in \mathbb{R}$ için $0 \le x < 5$ şeklinde ifade ederiz.
2. Kesişim Kümesini ($K \cap L$) Bulalım:
İki kümenin kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur. Yani, hem $K$ aralığında hem de $L$ aralığında bulunan gerçek sayıları bulmalıyız.
Bu durumda, bir $x$ gerçek sayısı hem $-2 < x \le 3$ koşulunu hem de $0 \le x < 5$ koşulunu aynı anda sağlamalıdır.
Kesişimin alt sınırını belirleyelim: $x > -2$ ve $x \ge 0$. Bu iki koşuldan daha kısıtlayıcı olanı $x \ge 0$'dır. Çünkü $x \ge 0$ olan her sayı aynı zamanda $x > -2$ koşulunu da sağlar. Dolayısıyla kesişimin alt sınırı $0$ ve $0$ bu aralığa dahildir.
Kesişimin üst sınırını belirleyelim: $x \le 3$ ve $x < 5$. Bu iki koşuldan daha kısıtlayıcı olanı $x \le 3$'tür. Çünkü $x \le 3$ olan her sayı aynı zamanda $x < 5$ koşulunu da sağlar. Dolayısıyla kesişimin üst sınırı $3$ ve $3$ bu aralığa dahildir.
Bu durumda, $K \cap L$ kümesi, $0$'a eşit veya $0$'dan büyük ve $3$'e eşit veya $3$'ten küçük olan tüm gerçek sayılardan oluşur. Yani, $K \cap L = [0, 3]$ aralığıdır.
3. Kesişim Kümesinin Eleman Sayısını Bulalım:
Şimdi $K \cap L = [0, 3]$ aralığının eleman sayısını bulmamız gerekiyor.
Bir aralık (boş olmayan) gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlandığında, bu aralıkta sonsuz sayıda gerçek sayı bulunur. Örneğin, $0$ ile $1$ arasında bile $0.1, 0.01, 0.001, \dots$ gibi ondalık sayılar, $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ gibi rasyonel sayılar ve $\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \dots$ gibi irrasyonel sayılar vardır.
Aralık $[0, 3]$ de $0$ ve $3$ dahil olmak üzere bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları içerir. Bu aralıkta da sonsuz sayıda gerçek sayı bulunmaktadır.
Bu nedenle, $K \cap L$ kümesinin eleman sayısı sonsuzdur.
Cevap B seçeneğidir.
