Çakışık doğrular paralel midir? Test 1

Koordinat düzleminde denklemleri $2x + 3y - 6 = 0$ ve $4x + 6y - 12 = 0$ olan iki doğru veriliyor. Bu doğrular için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Paralel ve çakışık değildir
B) Paralel değildir
C) Çakışıktır
D) Dik kesişir

Başlayalım!

• Adım 1: Doğruların Denklemlerini İnceleyelim

  Bize verilen iki doğrunun denklemleri şunlardır:

  Birinci doğru ($L_1$): $2x + 3y - 6 = 0$

  İkinci doğru ($L_2$): $4x + 6y - 12 = 0$

  Genel olarak, bir doğrunun denklemi $Ax + By + C = 0$ şeklinde ifade edilir. Bu formda, $A$, $B$ ve $C$ katsayıları doğrunun özelliklerini belirler.

• Adım 2: Katsayıları Karşılaştıralım

  İki doğrunun birbirine göre konumunu belirlemek için katsayıları oranlarını inceleyebiliriz. Bu oranlar, doğruların paralel mi, kesişen mi yoksa çakışık mı olduğunu anlamamıza yardımcı olur.

  Birinci doğru ($L_1$) için katsayılar: $A_1 = 2$, $B_1 = 3$, $C_1 = -6$

  İkinci doğru ($L_2$) için katsayılar: $A_2 = 4$, $B_2 = 6$, $C_2 = -12$

  Şimdi bu katsayıların oranlarını bulalım:

  $x$ katsayılarının oranı: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

  $y$ katsayılarının oranı: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

  Sabit terimlerin oranı: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}$

• Adım 3: Doğruların Konumunu Belirleyelim

  Katsayıların oranlarını karşılaştırdığımızda, $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ olduğunu görüyoruz. Yani, tüm oranlar birbirine eşittir ve hepsi $\frac{1}{2}$'ye eşittir.

  Bu durum, matematikte iki doğrunun çakışık olduğu anlamına gelir. Çakışık doğrular, aslında aynı doğruyu temsil ederler; yani koordinat düzleminde tamamen üst üste binerler.

  Bu durumu daha net görmek için ikinci denklemi ($L_2$) sadeleştirebiliriz. İkinci denklemin tüm terimlerini $2$ ile bölersek:

  $\frac{4x + 6y - 12}{2} = \frac{0}{2}$

  $2x + 3y - 6 = 0$

  Gördüğümüz gibi, ikinci denklemi sadeleştirdiğimizde birinci denklemin aynısını elde ettik. Bu da doğruların kesinlikle çakışık olduğunu gösterir.

• Adım 4: Seçenekleri Değerlendirelim

  Elde ettiğimiz sonuca göre seçenekleri inceleyelim:

  A) Paralel ve çakışık değildir: Yanlış. Doğrular çakışıktır.

  B) Paralel değildir: Yanlış. Çakışık doğrular aynı zamanda paraleldir (çünkü eğimleri aynıdır), ancak daha özel olarak birbirlerinin aynısıdırlar.

  C) Çakışıktır: Doğru. Yaptığımız katsayı oranları analizi ve denklemi sadeleştirme işlemi bu sonucu desteklemektedir.

  D) Dik kesişir: Yanlış. Dik kesişen doğrular için $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ koşulu sağlanmalıdır. Burada $(2)(4) + (3)(6) = 8 + 18 = 26 \neq 0$ olduğu için doğrular dik kesişmezler.

Cevap C seçeneğidir.