A = (-∞, 1) ∪ (3, ∞) ve B = [0, 4] kümeleri için A\B fark kümesi hangisidir?
A) (-∞, 0) ∪ (4, ∞)
B) (-∞, 0] ∪ [4, ∞)
C) (-∞, 1) ∪ (3, ∞)
D) (-∞, 0) ∪ (3, ∞)
Bu soruda, verilen kümeler için fark kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
1. Fark Kümesinin Tanımı:
- $A \setminus B$ fark kümesi, A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların kümesidir. Yani, A kümesinden B kümesinin elemanlarını "çıkarıyoruz".
2. Verilen Kümeleri Anlayalım:
- A kümesi: $A = (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
- Bu küme, 1'den küçük tüm gerçek sayılar (1 dahil değil) ile 3'ten büyük tüm gerçek sayıların (3 dahil değil) birleşimidir.
- B kümesi: $B = [0, 4]$
- Bu küme, 0 ile 4 arasındaki tüm gerçek sayıları (0 ve 4 dahil) içerir.
3. Sayı Doğrusunda Görselleştirme (Zihinsel veya Çizerek):
- A kümesi, sayı doğrusunda 1'in solundaki açık aralık ve 3'ün sağındaki açık aralık olarak düşünülebilir.
- B kümesi ise 0'dan 4'e kadar kapalı bir aralıktır.
4. $A \setminus B$ İşlemini Uygulayalım:
- A kümesini iki parçaya ayırarak inceleyelim: $(-\infty, 1)$ ve $(3, \infty)$. Her bir parçadan B kümesinin elemanlarını çıkaracağız.
4.1. A'nın Birinci Parçası İçin İşlem: $(-\infty, 1)$
- Bu aralıktan B kümesinin elemanlarını çıkarmalıyız. B kümesi $[0, 4]$ aralığıdır.
- $(-\infty, 1)$ aralığı ile $[0, 4]$ aralığının kesişimi $[0, 1)$'dir. Yani, A'nın bu kısmında olup B'de de olan elemanlar 0'dan başlayıp 1'e kadar olan sayılardır (1 hariç, 0 dahil).
- Bu kesişimi $(-\infty, 1)$ aralığından çıkardığımızda, geriye $(-\infty, 0)$ kalır.
- Neden 0 dahil değil? Çünkü 0, B kümesinde olduğu için A'dan çıkarılması gereken elemanlardan biridir. Dolayısıyla, 0'ın solundaki sayılar kalır, 0'ın kendisi çıkarılır.
4.2. A'nın İkinci Parçası İçin İşlem: $(3, \infty)$
- Bu aralıktan da B kümesinin elemanlarını çıkarmalıyız. B kümesi $[0, 4]$ aralığıdır.
- $(3, \infty)$ aralığı ile $[0, 4]$ aralığının kesişimi $(3, 4]$'tür. Yani, A'nın bu kısmında olup B'de de olan elemanlar 3'ten büyük ve 4'e eşit veya küçük olan sayılardır (3 hariç, 4 dahil).
- Bu kesişimi $(3, \infty)$ aralığından çıkardığımızda, geriye $(4, \infty)$ kalır.
- Neden 4 dahil değil? Çünkü 4, B kümesinde olduğu için A'dan çıkarılması gereken elemanlardan biridir. Dolayısıyla, 4'ün sağındaki sayılar kalır, 4'ün kendisi çıkarılır.
5. Sonuçları Birleştirelim:
- İlk parçadan $(-\infty, 0)$ ve ikinci parçadan $(4, \infty)$ elde ettik.
- Bu iki kümenin birleşimi $A \setminus B$ fark kümesini verir: $(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
