\( A = \{x, y, z\} \) kümesi üzerinde tanımlı \( R = \{(x,x), (y,y), (z,z), (x,y), (y,z), (x,z)\} \) bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Tam sıralı değildir
B) Kısmen sıralı değildir
C) İyi sıralıdır
D) Yansıma özelliği yoktur
Verilen küme $ A = \{x, y, z\} $ ve bağıntı $ R = \{(x,x), (y,y), (z,z), (x,y), (y,z), (x,z)\} $ şeklindedir. Bir bağıntının özelliklerini adım adım inceleyelim.
1. Yansıma Özelliği (Reflexivity):
Bir $R$ bağıntısı, $A$ kümesi üzerinde yansıma özelliğine sahiptir, eğer her $a \in A$ için $(a,a) \in R$ ise.
Bağıntımızda $(x,x) \in R$, $(y,y) \in R$ ve $(z,z) \in R$ olduğu görülmektedir.
Dolayısıyla, $R$ bağıntısı yansıma özelliğine sahiptir. Bu durumda D seçeneği ("Yansıma özelliği yoktur") yanlıştır.
2. Ters Simetri Özelliği (Antisymmetry):
Bir $R$ bağıntısı, $A$ kümesi üzerinde ters simetri özelliğine sahiptir, eğer her $a, b \in A$ için $(a,b) \in R$ ve $(b,a) \in R$ ise $a=b$ olmak zorundadır.
Bağıntımızda $(x,y) \in R$ iken $(y,x) \notin R$'dir. Benzer şekilde $(y,z) \in R$ iken $(z,y) \notin R$'dir ve $(x,z) \in R$ iken $(z,x) \notin R$'dir.
Yalnızca $(a,a)$ şeklindeki elemanlar için hem $(a,a) \in R$ hem de $(a,a) \in R$ durumu geçerlidir ve bu durumda $a=a$ sağlanır.
Dolayısıyla, $R$ bağıntısı ters simetri özelliğine sahiptir.
3. Geçişme Özelliği (Transitivity):
Bir $R$ bağıntısı, $A$ kümesi üzerinde geçişme özelliğine sahiptir, eğer her $a, b, c \in A$ için $(a,b) \in R$ ve $(b,c) \in R$ ise $(a,c) \in R$ olmak zorundadır.
Kontrol edelim:
$(x,y) \in R$ ve $(y,z) \in R$ ise $(x,z) \in R$ mi? Evet, $(x,z) \in R$.
Diğer tüm olası kombinasyonlar da bu özelliği sağlar (örneğin, $(x,x) \in R$ ve $(x,y) \in R \implies (x,y) \in R$).
Dolayısıyla, $R$ bağıntısı geçişme özelliğine sahiptir.
4. Kısmi Sıralama (Partial Order):
Bir bağıntı yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse, bu bağıntıya kısmi sıralama bağıntısı denir.
Yukarıdaki incelemelerimize göre $R$ bağıntısı bu üç özelliği de sağladığı için bir kısmi sıralama bağıntısıdır.
Bu durumda B seçeneği ("Kısmen sıralı değildir") yanlıştır.
5. Tam Sıralama (Total Order / Linear Order):
Bir kısmi sıralama bağıntısı $R$, $A$ kümesi üzerinde tam sıralama bağıntısıdır, eğer her $a, b \in A$ için ya $(a,b) \in R$ ya da $(b,a) \in R$ (veya ikisi birden, ki bu durumda $a=b$ olur) ise.
$A$ kümesindeki her farklı eleman çifti için kontrol edelim:
$x, y$: $(x,y) \in R$.
$y, z$: $(y,z) \in R$.
$x, z$: $(x,z) \in R$.
Görüldüğü gibi, $A$'daki her eleman çifti için bir sıralama ilişkisi mevcuttur. Bu, $x \le y \le z$ şeklinde bir sıralamadır.
Dolayısıyla, $R$ bağıntısı bir tam sıralama bağıntısıdır. Bu durumda A seçeneği ("Tam sıralı değildir") yanlıştır.
6. İyi Sıralama (Well-Order):
Bir tam sıralama bağıntısı $R$, $A$ kümesi üzerinde iyi sıralama bağıntısıdır, eğer $A$'nın boş olmayan her alt kümesinin $R$'ye göre bir en küçük elemanı varsa.
$A$ kümesi sonlu bir küme olduğu için, $A$ üzerindeki her tam sıralama aynı zamanda bir iyi sıralamadır.
Yine de kontrol edelim:
$A$'nın boş olmayan alt kümeleri: $\{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x,y\}, \{y,z\}, \{x,z\}, \{x,y,z\}$.
Her bir alt kümenin en küçük elemanı vardır:
$\{x\}$ için en küçük eleman $x$.
$\{y\}$ için en küçük eleman $y$.
$\{z\}$ için en küçük eleman $z$.
$\{x,y\}$ için en küçük eleman $x$ (çünkü $(x,y) \in R$).
$\{y,z\}$ için en küçük eleman $y$ (çünkü $(y,z) \in R$).
$\{x,z\}$ için en küçük eleman $x$ (çünkü $(x,z) \in R$).
$\{x,y,z\}$ için en küçük eleman $x$ (çünkü $(x,y) \in R$ ve $(x,z) \in R$).
Dolayısıyla, $R$ bağıntısı bir iyi sıralama bağıntısıdır. Bu durumda C seçeneği ("İyi sıralıdır") doğrudur.
