Bir markette 3 paket makarna ve 2 kutu süt alan Ayşe, kasada 20 TL ödüyor. Makarnanın fiyatı \( x \) TL, sütün fiyatı \( y \) TL'dir. Eğer 2 paket makarna ve 3 kutu süt alsaydı 18 TL ödeyecekti. Buna göre \( 2x + y \) işleminin sonucu kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
Bu problemde, Ayşe'nin yaptığı iki farklı alışveriş senaryosunu kullanarak makarna ve süt fiyatlarını bulup, sonrasında istenen ifadeyi hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, Ayşe'nin yaptığı alışverişleri matematiksel denklemlere dönüştürelim. Makarnanın fiyatı $x$ TL ve sütün fiyatı $y$ TL olarak verilmiş.
- İlk alışverişte Ayşe, 3 paket makarna ve 2 kutu süt alarak 20 TL ödemiştir. Bu durumu şu denklemle ifade edebiliriz: $3x + 2y = 20$ (Denklem 1)
- İkinci senaryoda ise Ayşe, 2 paket makarna ve 3 kutu süt alsaydı 18 TL ödeyecekti. Bu durumu da şu denklemle ifade edebiliriz: $2x + 3y = 18$ (Denklem 2)
- Şimdi elimizde iki bilinmeyenli iki denklem var. Bu denklemleri çözerek $x$ ve $y$ değerlerini bulmalıyız. Bunun için "Yok Etme Metodu"nu kullanalım. Amacımız, denklemlerden birindeki bilinmeyeni yok etmek.
- Önce $x$ bilinmeyenini yok edelim. Bunun için Denklem 1'i 2 ile, Denklem 2'yi ise 3 ile çarpalım ki $x$'lerin katsayıları eşit olsun (her ikisi de $6x$ olsun):
- Denklem 1'i 2 ile çarparsak: $2 \times (3x + 2y) = 2 \times 20 \implies 6x + 4y = 40$ (Denklem 3)
- Denklem 2'yi 3 ile çarparsak: $3 \times (2x + 3y) = 3 \times 18 \implies 6x + 9y = 54$ (Denklem 4)
- Şimdi Denklem 3'ü Denklem 4'ten çıkaralım. Böylece $x$ bilinmeyeni yok olacak ve sadece $y$ kalacak:
- $(6x + 9y) - (6x + 4y) = 54 - 40$
- $6x - 6x + 9y - 4y = 14$
- $5y = 14$
- Buradan $y$ değerini buluruz: $y = \frac{14}{5} = 2.8$ TL. Yani bir kutu sütün fiyatı $2.8$ TL'dir.
- Şimdi bulduğumuz $y$ değerini (Denklem 1 veya Denklem 2'den herhangi birine) yerine yazarak $x$ değerini bulalım. Denklem 1'i kullanalım:
- $3x + 2(2.8) = 20$
- $3x + 5.6 = 20$
- $3x = 20 - 5.6$
- $3x = 14.4$
- Buradan $x$ değerini buluruz: $x = \frac{14.4}{3} = 4.8$ TL. Yani bir paket makarnanın fiyatı $4.8$ TL'dir.
- Son olarak, bizden istenen $2x + y$ işleminin sonucunu hesaplayalım:
- $2x + y = 2(4.8) + 2.8$
- $2x + y = 9.6 + 2.8$
- $2x + y = 12.4$
Bu durumda, $2x + y$ işleminin sonucu $12.4$ olarak bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
