Akışkanlar mekaniği Bernoulli ilkesi Test 1

Bir borudan akan ideal akışkan için Bernoulli denklemi $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{sabit}$ şeklindedir. Yatay bir boruda daralan kesitten geçen akışkan için hangisi doğrudur?

A) Basınç artar, hız artar
B) Basınç azalır, hız azalır
C) Basınç artar, hız azalır
D) Basınç azalır, hız artar

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu çözmek için akışkanlar mekaniğinin iki temel prensibini, yani Bernoulli Denklemi'ni ve Süreklilik Denklemi'ni kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Bernoulli Denklemi'ni Anlayalım:

  Bernoulli denklemi, ideal bir akışkanın enerji korunumu prensibini ifade eder ve şu şekildedir:

  $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{sabit}$

  Burada:

  • $P$: Akışkanın statik basıncıdır.
  • $\frac{1}{2}\rho v^2$: Akışkanın kinetik enerji terimi veya dinamik basınçtır ($\rho$ yoğunluk, $v$ hız).
  • $\rho gh$: Akışkanın potansiyel enerji terimi veya hidrostatik basınçtır ($g$ yer çekimi ivmesi, $h$ yükseklik).

  Bu denklem, bir akışkanın bir noktadan başka bir noktaya akarken bu üç terimin toplamının sabit kaldığını söyler. Yani, bir terim artarsa, diğer terimlerden biri veya ikisi azalmalıdır ki toplam sabit kalsın.

• 2. "Yatay Boru" Koşulunu Değerlendirelim:

  Soruda borunun "yatay" olduğu belirtiliyor. Bu ne anlama geliyor? Yatay bir boruda akışkanın yüksekliği ($h$) değişmez. Dolayısıyla, Bernoulli denklemindeki $\rho gh$ terimi sabit kalır ve denklemin toplam sabitine dahil edilebilir. Bu durumda denklemimiz daha basit bir hale gelir:

  $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{sabit}$

  Bu basitleştirilmiş denklem bize, yatay bir boruda akışkanın statik basıncı ($P$) ile dinamik basıncının ($\frac{1}{2}\rho v^2$) toplamının her zaman sabit kalacağını söyler. Yani, dinamik basınç artarsa statik basınç azalmalı, dinamik basınç azalırsa statik basınç artmalıdır.

• 3. "Daralan Kesit" Koşulunu Süreklilik Denklemi ile İnceleyelim:

  Şimdi de borunun "daralan kesit" özelliğine bakalım. Akışkanlar mekaniğinde kütle korunumu prensibinden türetilen Süreklilik Denklemi bize şunu söyler: Sıkıştırılamaz bir akışkan için, bir borunun herhangi bir kesitinden birim zamanda geçen akışkan hacmi sabittir. Matematiksel olarak bu, $A_1 v_1 = A_2 v_2$ şeklinde ifade edilir, burada $A$ kesit alanı ve $v$ akışkan hızıdır.

  Eğer boru daralıyorsa, yani kesit alanı ($A$) azalıyorsa, akışkanın hızı ($v$) artmak zorundadır ki birim zamanda geçen akışkan hacmi sabit kalsın. Bu, bir bahçe hortumunun ucunu sıktığınızda suyun daha hızlı akmasına benzer bir durumdur.

  Sonuç: Daralan kesitte akışkanın hızı ($v$) artar.

• 4. Bernoulli Denklemi ve Süreklilik Denklemi'nin Sonuçlarını Birleştirelim:

  Yukarıdaki adımlardan elde ettiğimiz bilgileri bir araya getirelim:

  • Yatay boru için Bernoulli denklemi: $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{sabit}$
  • Daralan kesitte hız ($v$) artar.

  Eğer hız ($v$) artarsa, dinamik basınç terimi olan $\frac{1}{2}\rho v^2$ de artar. Bernoulli denklemine göre, bu toplamın sabit kalabilmesi için statik basınç ($P$) azalmak zorundadır.

  Sonuç: Daralan kesitte akışkanın hızı artar ve basıncı azalır.

• 5. Seçenekleri Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz sonuçları seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) Basınç artar, hız artar (Yanlış)
  • B) Basınç azalır, hız azalır (Yanlış)
  • C) Basınç artar, hız azalır (Yanlış)
  • D) Basınç azalır, hız artar (Doğru)

Cevap D seçeneğidir.