ABC ve DEF üçgenlerinde |AB|=6 cm, |BC|=8 cm, |AC|=10 cm ve |DE|=9 cm, |EF|=12 cm, |DF|=15 cm ölçüleri veriliyor. Bu üçgenler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Üçgenler eşittirSevgili öğrenciler, bu soruda iki üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bu üçgenler arasındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:
Bize iki üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir:
ABC üçgeni: $|AB|=6$ cm, $|BC|=8$ cm, $|AC|=10$ cm
DEF üçgeni: $|DE|=9$ cm, $|EF|=12$ cm, $|DF|=15$ cm
Bu üçgenlerin eş mi, benzer mi olduğunu veya hiçbiri olmadığını belirlememiz gerekiyor.
İki üçgenin eş olması için, karşılıklı tüm kenar uzunluklarının ve tüm açılarının eşit olması gerekir. Kenar uzunluklarına bakarak hemen anlayabiliriz:
Karşılıklı kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
$|AB|=6$ cm iken $|DE|=9$ cm. Kenarlar eşit değildir.
$|BC|=8$ cm iken $|EF|=12$ cm. Kenarlar eşit değildir.
$|AC|=10$ cm iken $|DF|=15$ cm. Kenarlar eşit değildir.
Kenar uzunlukları farklı olduğu için bu üçgenler eş değildir. Dolayısıyla A seçeneği yanlıştır.
İki üçgenin benzer olması için, karşılıklı açılarının eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarının (benzerlik oranının) birbirine eşit olması gerekir. Benzerlik için üç temel kriter vardır:
Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki açısı eşitse.
Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: Birer açısı eşit ve bu açıları çevreleyen kenarlar orantılı ise.
Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: Tüm karşılıklı kenarları orantılı ise.
Bize tüm kenar uzunlukları verildiği için, en uygun başlangıç noktası KKK Benzerliği kriterini kontrol etmektir.
KKK benzerliği için, üçgenlerin karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarının birbirine eşit olması gerekir. Kenarları küçükten büyüğe sıralayarak karşılıklarını bulalım:
ABC üçgeni: $6, 8, 10$
DEF üçgeni: $9, 12, 15$
Şimdi karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım:
En küçük kenarların oranı: $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9}$
Ortanca kenarların oranı: $\frac{|BC|}{|EF|} = \frac{8}{12}$
En büyük kenarların oranı: $\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{10}{15}$
Bu oranları sadeleştirelim:
$\frac{6}{9} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{2}{3}$
$\frac{8}{12} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{2}{3}$
$\frac{10}{15} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{2}{3}$
Gördüğümüz gibi, tüm karşılıklı kenar uzunluklarının oranları birbirine eşittir ve bu oran $k = \frac{2}{3}$'tür. Bu durum, üçgenlerin KKK benzerliğine sahip olduğunu gösterir.
B) Üçgenler KAK benzerliğine sahiptir: KKK benzerliği sağlandığı için, bu üçgenler aynı zamanda KAK benzerliğine de sahip olabilirler (örneğin, dik açılarının eşitliği ve bu açıları oluşturan kenarların orantılı olması). Ancak KKK benzerliği, elimizdeki tüm kenar bilgisiyle doğrudan ve en kapsamlı şekilde doğrulanabilen kriterdir.
D) Üçgenler benzer değildir: Kenar oranları eşit çıktığı için bu ifade yanlıştır, üçgenler benzerdir.
İsterseniz, bu üçgenlerin özel bir üçgen olup olmadığını da kontrol edebiliriz. Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir ($a^2 + b^2 = c^2$).
ABC üçgeni için: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Hipotenüs $10^2 = 100$. Yani $6^2 + 8^2 = 10^2$. Bu, ABC üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösterir.
DEF üçgeni için: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Hipotenüs $15^2 = 225$. Yani $9^2 + 12^2 = 15^2$. Bu da DEF üçgeninin bir dik üçgen olduğunu gösterir.
Her iki üçgen de dik üçgen ve kenarları orantılı olduğu için benzerlikleri bir kez daha doğrulanmış olur.
Tüm bu adımları takip ettiğimizde, üçgenlerin KKK benzerliğine sahip olduğu sonucuna varırız.
Cevap C seçeneğidir.
