A = {x | 1 ≤ x ≤ 20, x ∈ N} kümesi veriliyor. A kümesinin elemanlarından 3'ün katı olanlar B kümesini, 5'in katı olanlar C kümesini oluşturuyor. B ∪ C kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için küme kavramlarını ve eleman sayılarını bulma yöntemini adım adım uygulayacağız. Hazırsanız başlayalım!
Öncelikle, soruda verilen $A = \{x | 1 \le x \le 20, x \in N\}$ kümesi, 1 ile 20 arasındaki (1 ve 20 dahil) doğal sayıları ifade eder. Yani,
$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$
Bu küme toplam $20$ elemana sahiptir.
B kümesi, A kümesinin elemanlarından 3'ün katı olanları içerir. A kümesindeki 3'ün katlarını listeleyelim:
$B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$
B kümesinin eleman sayısı $|B|$ ise $6$'dır. (Not: Eğer küme 21'i de kapsasaydı, 21 de 3'ün katı olurdu ve $|B|$ değeri 7 olurdu.)
C kümesi, A kümesinin elemanlarından 5'in katı olanları içerir. A kümesindeki 5'in katlarını listeleyelim:
$C = \{5, 10, 15, 20\}$
C kümesinin eleman sayısı $|C|$ ise $4$'tür.
$B \cap C$ kümesi, hem B kümesinde hem de C kümesinde ortak olan elemanları içerir. Yani, A kümesindeki hem 3'ün hem de 5'in katı olan sayıları bulmalıyız.
Bir sayı hem 3'ün hem de 5'in katı ise, bu sayı 3 ve 5'in en küçük ortak katının (EKOK) da katı olmalıdır. EKOK$(3, 5) = 15$'tir.
A kümesindeki 15'in katlarını listeleyelim:
$B \cap C = \{15\}$
$B \cap C$ kümesinin eleman sayısı $|B \cap C|$ ise $1$'dir.
İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için şu formülü kullanırız:
$|B \cup C| = |B| + |C| - |B \cap C|$
Şimdi bulduğumuz değerleri formülde yerine yazalım:
$|B \cup C| = 6 + 4 - 1$
$|B \cup C| = 10 - 1$
$|B \cup C| = 9$
Bu durumda, $B \cup C$ kümesinin eleman sayısı $9$'dur.
Cevap B seçeneğidir.
