Bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak, o fonksiyonun hangi $x$ değerleri için gerçek bir sonuç üreteceğini belirlemek demektir. Özellikle köklü ifadelerde dikkat etmemiz gereken önemli bir kural vardır.
- Verilen fonksiyon $f(x) = \sqrt{x-4}$ şeklindedir. Bu bir kareköklü fonksiyondur.
- Gerçek sayılarda bir karekökün tanımlı olabilmesi için, kökün içindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir. Yani, $\sqrt{A}$ ifadesinin tanımlı olması için $A \ge 0$ olmalıdır. Eğer kökün içi negatif olursa, sonuç gerçek bir sayı olmaz (sanal sayı olur).
- Bizim fonksiyonumuzda kökün içindeki ifade $x-4$'tür. Bu durumda, tanım kümesini bulmak için $x-4 \ge 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
- Eşitsizliği çözmek için her iki tarafa $4$ ekleyelim:
$x-4 \ge 0$
$x-4 + 4 \ge 0 + 4$
$x \ge 4$
- Bu eşitsizlik, $x$ değerlerinin $4$'e eşit veya $4$'ten büyük olması gerektiğini gösterir. Bu, fonksiyonun $x=4$ için $f(4) = \sqrt{4-4} = \sqrt{0} = 0$ gibi gerçek bir değer üreteceği anlamına gelir. $x=5$ için $f(5) = \sqrt{5-4} = \sqrt{1} = 1$ gibi. Ancak $x=3$ için $f(3) = \sqrt{3-4} = \sqrt{-1}$ olur ki bu gerçek bir sayı değildir.
- Bu aralığı matematiksel olarak ifade edersek, $4$ dahil olmak üzere sonsuza kadar giden tüm gerçek sayılar anlamına gelir. Bu da kapalı aralık gösterimiyle $[4, \infty)$ şeklinde yazılır. Köşeli parantez `[` sayının aralığa dahil olduğunu, yuvarlak parantez `)` ise sayının aralığa dahil olmadığını gösterir. Sonsuzluk ($\infty$) her zaman yuvarlak parantez ile gösterilir çünkü bir sayı değildir.
- Şimdi bulduğumuz bu tanım kümesini seçeneklerle karşılaştıralım:
Bizim bulduğumuz tanım kümesi $[4, \infty)$'dir. Bu aralık, $4$ sayısını ve $4$'ten büyük tüm gerçek sayıları içerir. Seçeneklere baktığımızda, bu aralık B seçeneğinde yer almaktadır. Diğer seçenekler, $4$'ü dahil etmeyen $(4, \infty)$ veya $4$'ten küçük değerleri içeren $(-\infty, 4]$ ya da $(-\infty, 4)$ farklı aralıkları temsil etmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
