Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soru, fonksiyonların temel kavramlarından biri olan "görüntü kümesi" tanımını anlamamızı istiyor. Gelin, adım adım bu kavramları inceleyelim:
- Bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu verildiğinde, bu ifade bize şunları anlatır:
- $A$ kümesi, fonksiyonun tanım kümesidir. Yani, fonksiyona girdi olarak verebileceğimiz tüm $x$ değerlerinin bulunduğu kümedir.
- $B$ kümesi, fonksiyonun değer kümesidir. Yani, fonksiyonun çıktı olarak üretebileceği tüm $y$ değerlerinin bulunduğu kümedir. Fonksiyonun çıktıları bu kümenin elemanları olmak zorundadır.
- Soru bize "f(x) = y eşitliğini sağlayan tüm y değerlerinin oluşturduğu küme" ifadesini soruyor. Bu ifade, tanım kümesindeki her bir $x$ değeri için fonksiyonun gerçekten ürettiği çıktıları, yani $y$ değerlerini kastetmektedir.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Tanım kümesi: Bu, fonksiyona girdi olarak verilen $x$ değerlerinin kümesidir ($A$ kümesi). Soru, çıktı olan $y$ değerlerini sorduğu için bu doğru cevap değildir.
- B) Değer kümesi: Bu, fonksiyonun çıktı olarak alabileceği tüm olası $y$ değerlerinin kümesidir ($B$ kümesi). Ancak, fonksiyon tanım kümesindeki her elemanı bu kümedeki her elemana eşleştirmek zorunda değildir. Yani, değer kümesindeki bazı elemanlara hiçbir $x$ değeri eşleşmeyebilir. Soru, "eşitliği sağlayan tüm $y$ değerleri" diyerek, gerçekten elde edilen çıktıları soruyor.
- C) Görüntü kümesi: İşte bu doğru cevaptır! Görüntü kümesi (veya diğer adıyla değer aralığı), tanım kümesindeki her bir $x$ elemanının fonksiyon altında eşleştiği, yani $f(x)=y$ eşitliğini sağlayan tüm $y$ değerlerinin oluşturduğu kümedir. Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir veya değer kümesine eşit olabilir. Örneğin, $f(x) = x^2$ fonksiyonunda tanım kümesi tüm reel sayılar ($A = \mathbb{R}$) ve değer kümesi de tüm reel sayılar ($B = \mathbb{R}$) olabilir. Ancak, $x^2$ her zaman pozitif veya sıfır olduğu için, bu fonksiyonun görüntü kümesi sadece $[0, \infty)$ aralığıdır.
- D) Fonksiyon kümesi: Bu, matematiksel olarak bu bağlamda kullanılan standart bir terim değildir. Fonksiyon kümesi genellikle belirli özelliklere sahip fonksiyonların bir araya geldiği daha soyut matematiksel yapılarda kullanılır ve bu sorudaki tanıma uymaz.
- Özetle, $f(x) = y$ eşitliğini sağlayan tüm $y$ değerleri, fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların "görüntüleri"dir ve bu görüntülerin oluşturduğu kümeye "görüntü kümesi" denir.
Cevap C seçeneğidir.
