Üçgen eşitsizliği ne demek? Kenar uzunluğu nasıl sınırlar? Test 1

Bir üçgenin kenar uzunlukları \(2a\), \(3a\) ve 14'tür. Bu üçgenin çevresi 30'dan büyük olduğuna göre, \(a\)'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için üçgenlerin temel özelliklerini ve eşitsizlik kavramını kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Üçgenin Kenar Uzunlukları ve Çevresi:

  Üçgenin kenar uzunlukları $2a$, $3a$ ve 14 olarak verilmiş. Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Bu durumda, çevremiz:

  $Çevre = 2a + 3a + 14 = 5a + 14$

• 2. Çevre Koşulunu Kullanma:

  Soruda, üçgenin çevresinin 30'dan büyük olduğu belirtiliyor. Bu bilgiyi bir eşitsizlik olarak yazalım:

  $5a + 14 > 30$

  Şimdi bu eşitsizliği $a$ için çözelim:

  $5a > 30 - 14$

  $5a > 16$

  $a > \frac{16}{5}$

  $a > 3.2$

  Bu, $a$'nın alabileceği değerler için ilk koşulumuzdur.

• 3. Üçgen Eşitsizliği Kuralını Uygulama:

  Bir üçgenin oluşabilmesi için, herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Bu kuralı kenar uzunluklarımız için uygulayalım:

  • a) İlk Durum: $2a + 3a > 14$

    $5a > 14$

    $a > \frac{14}{5}$

    $a > 2.8$

  • b) İkinci Durum: $2a + 14 > 3a$

    $14 > 3a - 2a$

    $14 > a$

    $a < 14$

  • c) Üçüncü Durum: $3a + 14 > 2a$

    $14 > 2a - 3a$

    $14 > -a$

    $a > -14$

    Ancak, bir kenar uzunluğu negatif olamayacağı için $a$ zaten pozitif olmalıdır. Yani $a > 0$ koşulu zaten geçerlidir. Bu eşitsizlik, diğer eşitsizlikler kadar kısıtlayıcı değildir.

• 4. Tüm Koşulları Birleştirme:

  $a$ değeri, bulduğumuz tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlamalıdır:

  • Çevre koşulundan: $a > 3.2$
  • Üçgen eşitsizliğinden: $a > 2.8$
  • Üçgen eşitsizliğinden: $a < 14$

  Bu eşitsizlikleri birleştirdiğimizde, $a$'nın hem $3.2$'den büyük hem de $14$'ten küçük olması gerektiğini görürüz. Çünkü $a > 3.2$ koşulu, $a > 2.8$ koşulunu zaten kapsar.

  Yani, $3.2 < a < 14$ olmalıdır.

• 5. $a$'nın En Küçük Tam Sayı Değerini Bulma:

  $a$'nın $3.2$'den büyük olması gerektiği için, $a$'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 4'tür.

  Kontrol edelim: Eğer $a=4$ olursa,

  • Kenar uzunlukları: $2(4)=8$, $3(4)=12$, $14$.
  • Çevre: $8 + 12 + 14 = 34$.
  • Çevre koşulu: $34 > 30$ (Sağlandı).
  • Üçgen eşitsizliği:
    • $8 + 12 > 14 \implies 20 > 14$ (Sağlandı).
    • $8 + 14 > 12 \implies 22 > 12$ (Sağlandı).
    • $12 + 14 > 8 \implies 26 > 8$ (Sağlandı).

  Tüm koşullar sağlandığına göre, $a$'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 4'tür.

Cevap B seçeneğidir.