Bir doğru x eksenini 4, y eksenini -6 noktasında kesmektedir. Bu doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = \( \frac{3}{2}x \) - 6
B) y = \( \frac{2}{3}x \) - 6
C) y = \( \frac{3}{2}x \) + 6
D) y = \( \frac{2}{3}x \) + 6
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar verilmiş ve bizden bu doğrunun denklemini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Doğrunun Geçtiği Noktaları Belirleme
- Bir doğru x eksenini kestiği noktada y değeri her zaman $0$ (sıfır) olur. Soruda doğrunun x eksenini $4$ noktasında kestiği belirtildiğine göre, doğrumuzun geçtiği noktalardan biri $(4, 0)$'dır.
- Bir doğru y eksenini kestiği noktada x değeri her zaman $0$ (sıfır) olur. Soruda doğrunun y eksenini $-6$ noktasında kestiği belirtildiğine göre, doğrumuzun geçtiği diğer nokta $(0, -6)$'dır.
- Yani, doğrumuz $P_1(4, 0)$ ve $P_2(0, -6)$ noktalarından geçmektedir.
- Adım 2: Doğrunun Eğimini (m) Hesaplama
- İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ formülüyle bulunur.
- Noktalarımız $P_1(x_1, y_1) = (4, 0)$ ve $P_2(x_2, y_2) = (0, -6)$ olsun.
- Bu değerleri eğim formülünde yerine yazalım:
- $m = \frac{-6 - 0}{0 - 4}$
- $m = \frac{-6}{-4}$
- Eksiler birbirini götürür ve kesri sadeleştirirsek: $m = \frac{3}{2}$ olarak bulunur.
- Adım 3: Doğrunun y-kesenini (b) Belirleme
- Bir doğrunun denklemi genellikle $y = mx + b$ şeklinde yazılır. Bu denklemdeki $b$ değeri, doğrunun y eksenini kestiği noktadır.
- Soruda doğrunun y eksenini $-6$ noktasında kestiği açıkça belirtilmiştir.
- Bu durumda, $b = -6$'dır.
- Adım 4: Doğrunun Denklemini Yazma
- Doğrunun genel denklemi $y = mx + b$ şeklindedir.
- Bulduğumuz eğim $m = \frac{3}{2}$ ve y-keseni $b = -6$ değerlerini bu denklemde yerine yazalım.
- $y = \frac{3}{2}x - 6$
- Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma
- Bulduğumuz denklem $y = \frac{3}{2}x - 6$'dır.
- Şimdi bu denklemi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $y = \frac{3}{2}x - 6$
- B) $y = \frac{2}{3}x - 6$
- C) $y = \frac{3}{2}x + 6$
- D) $y = \frac{2}{3}x + 6$
- Gördüğümüz gibi, bulduğumuz denklem A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Alternatif Yöntem: Eksenleri Kesen Doğru Denklemi
- Eğer bir doğru x eksenini $a$ noktasında ve y eksenini $b$ noktasında kesiyorsa, denklemi $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ şeklinde de yazılabilir.
- Soruda $a = 4$ (x eksenini kestiği nokta) ve $b = -6$ (y eksenini kestiği nokta) olarak verilmiştir.
- Bu değerleri formülde yerine yazalım: $\frac{x}{4} + \frac{y}{-6} = 1$
- Bu denklemi $y = mx + b$ formuna dönüştürmek için paydaları eşitleyelim. Ortak payda $12$ olabilir. İlk kesri $3$ ile, ikinci kesri $-2$ ile genişletelim:
- $\frac{3x}{12} + \frac{-2y}{12} = 1$
- $\frac{3x - 2y}{12} = 1$
- Denklemin her iki tarafını $12$ ile çarpalım: $3x - 2y = 12$
- Şimdi $y$'yi yalnız bırakalım:
- $-2y = -3x + 12$
- Her tarafı $-2$'ye bölelim:
- $y = \frac{-3x}{-2} + \frac{12}{-2}$
- $y = \frac{3}{2}x - 6$
- Bu yöntemle de aynı sonuca ulaşırız.
Cevap A seçeneğidir.
