Bir kutudaki bilyelerin önce \(\frac{2}{7}\)'si, sonra kalanın \(\frac{3}{5}\)'i dağıtılıyor. Geriye 20 bilye kaldığına göre, başlangıçta kutuda kaç bilye vardı?
A) 70
B) 75
C) 80
D) 85
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir kutudaki bilyelerin belirli oranlarda dağıtıldıktan sonra geriye kalan miktarını kullanarak başlangıçtaki toplam bilye sayısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: İlk Dağıtım Sonrası Kalan Bilyelerin Kesir Karşılığını Bulma
- Kutudaki bilyelerin $\frac{2}{7}$'si dağıtılıyor.
- Bir bütünün (yani tüm bilyelerin) $\frac{2}{7}$'si dağıtılırsa, geriye kalan kısım $1 - \frac{2}{7}$ olur.
- Bu işlemi yaparken, 1 tam sayısını paydaya uygun olarak $\frac{7}{7}$ şeklinde yazarız:
- $1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$
- Demek ki, ilk dağıtımdan sonra bilyelerin $\frac{5}{7}$'si kalmıştır.
- Adım 2: İkinci Dağıtım Sonrası Kalan Bilyelerin Kesir Karşılığını Bulma (Kalan Üzerinden)
- Şimdi elimizde bilyelerin $\frac{5}{7}$'si var. Soruda bu kalanın $\frac{3}{5}$'inin daha dağıtıldığı belirtiliyor.
- Eğer kalanın $\frac{3}{5}$'i dağıtılırsa, geriye kalanın $1 - \frac{3}{5}$'i kalır.
- Yine 1 tam sayısını paydaya uygun olarak $\frac{5}{5}$ şeklinde yazarız:
- $1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
- Yani, ilk dağıtımdan sonra kalan bilyelerin $\frac{2}{5}$'i elimizde kalmıştır.
- Adım 3: Başlangıca Göre Toplamda Kalan Bilyelerin Kesir Karşılığını Bulma
- İlk başta bilyelerin $\frac{5}{7}$'si kalmıştı.
- Bu $\frac{5}{7}$'lik kısmın da $\frac{2}{5}$'i kaldı.
- O zaman, başlangıçtaki toplam bilyelerin ne kadarının kaldığını bulmak için bu iki kesri çarparız:
- $\frac{5}{7} \times \frac{2}{5} = \frac{5 \times 2}{7 \times 5} = \frac{10}{35}$
- Bu kesri sadeleştirelim (hem payı hem paydayı 5'e bölelim): $\frac{10 \div 5}{35 \div 5} = \frac{2}{7}$
- Demek ki, tüm dağıtımlar yapıldıktan sonra başlangıçtaki bilyelerin $\frac{2}{7}$'si kalmıştır.
- Adım 4: Başlangıçtaki Toplam Bilye Sayısını Bulma
- Soruda geriye 20 bilye kaldığı söyleniyor.
- Biz de başlangıçtaki bilyelerin $\frac{2}{7}$'sinin kaldığını bulduk.
- Yani, başlangıçtaki toplam bilye sayısının $\frac{2}{7}$'si 20'ye eşittir.
- Eğer başlangıçtaki bilye sayısına $X$ dersek, denklemimiz şöyle olur:
- $X \times \frac{2}{7} = 20$
- Bu denklemi çözmek için, $X$'i yalnız bırakırız. Önce her iki tarafı 7 ile çarparız:
- $2X = 20 \times 7$
- $2X = 140$
- Şimdi her iki tarafı 2'ye böleriz:
- $X = \frac{140}{2}$
- $X = 70$
- Başlangıçta kutuda 70 bilye varmış.
Cevap A seçeneğidir.
