$\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ vektörü veriliyor. Bu vektör -2 skaleri ile çarpıldığında elde edilen yeni vektörün büyüklüğü kaç birim olur?
A) 5Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir vektörün skaler bir sayı ile çarpılmasının ve ardından yeni vektörün büyüklüğünün nasıl bulunacağını adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!
Bize verilen başlangıç vektörü $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ şeklindedir. Bu ifade, vektörün x ekseni boyunca 3 birim ve y ekseni boyunca 4 birim bileşeni olduğunu gösterir. $\hat{i}$ ve $\hat{j}$ sırasıyla x ve y eksenlerindeki birim vektörlerdir.
Bir vektörü skaler bir sayı ile çarptığımızda, vektörün her bir bileşenini bu skaler sayı ile çarparız. Sorumuzda, $\vec{A}$ vektörünü $-2$ skaleri ile çarpmamız isteniyor. Yeni vektöre $\vec{B}$ diyelim:
$\vec{B} = -2 \cdot \vec{A}$
$\vec{B} = -2 \cdot (3\hat{i} + 4\hat{j})$
Şimdi her bir bileşeni $-2$ ile çarpalım:
$\vec{B} = (-2 \cdot 3)\hat{i} + (-2 \cdot 4)\hat{j}$
$\vec{B} = -6\hat{i} - 8\hat{j}$
Elde ettiğimiz yeni vektör $\vec{B} = -6\hat{i} - 8\hat{j}$'dir.
Bir vektörün büyüklüğü (uzunluğu), Pisagor teoremi kullanılarak bulunur. Eğer bir vektör $\vec{V} = V_x\hat{i} + V_y\hat{j}$ şeklinde ise, büyüklüğü $|\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}$ formülü ile hesaplanır.
Bizim yeni vektörümüz $\vec{B} = -6\hat{i} - 8\hat{j}$ olduğuna göre, $V_x = -6$ ve $V_y = -8$ olur. Şimdi formülü uygulayalım:
$|\vec{B}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2}$
$|\vec{B}| = \sqrt{36 + 64}$
$|\vec{B}| = \sqrt{100}$
$|\vec{B}| = 10$ birim
Yeni vektörün büyüklüğü 10 birimdir.
Bu adımları takip ettiğimizde, elde edilen yeni vektörün büyüklüğünün 10 birim olduğunu buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
