Kimyasal bir reaksiyonda madde akış vektörü $\vec{J} = -2\hat{i} + 6\hat{j}$ mol/m²s şeklinde modellenmiştir. Reaksiyon hızını iki katına çıkarmak için bu vektör 2 skaleri ile çarpılıyor. Yeni akış vektörünün büyüklüğü kaç mol/m²s olur?
A) $\sqrt{40}$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, kimyasal bir reaksiyondaki madde akış vektörünün nasıl değiştiğini ve yeni akış vektörünün büyüklüğünü nasıl hesaplayacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Vektörler, hem yönü hem de büyüklüğü olan fiziksel niceliklerdir ve kimyada akış, kuvvet gibi birçok kavramı ifade etmek için kullanılırlar.
Öncelikle, bize verilen başlangıçtaki madde akış vektörünün büyüklüğünü (şiddetini) bulmalıyız. Vektörümüz $\vec{J} = -2\hat{i} + 6\hat{j}$ mol/m²s olarak verilmiştir. Bir vektörün büyüklüğü, Kartezyen koordinatlardaki bileşenlerinin karelerinin toplamının karekökü alınarak bulunur. Bu, aslında Pisagor teoreminin vektörlere uygulanmış halidir.
$|\vec{J}| = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2}$
$|\vec{J}| = \sqrt{4 + 36}$
$|\vec{J}| = \sqrt{40}$ mol/m²s.
Soruda reaksiyon hızının iki katına çıkarılması isteniyor. Kimyasal reaksiyon hızları veya akış yoğunlukları gibi nicelikler genellikle akış vektörünün büyüklüğünün karesiyle orantılıdır. Yani, reaksiyon hızı $\propto |\vec{J}|^2$ şeklinde bir ilişki olduğunu varsayabiliriz. Bu durumda, reaksiyon hızını iki katına çıkarmak, akış vektörünün büyüklüğünün karesini iki katına çıkarmak anlamına gelir.
Başlangıçtaki akış vektörünün büyüklüğünün karesi: $|\vec{J}|^2 = (\sqrt{40})^2 = 40$.
Reaksiyon hızı iki katına çıktığında, yeni akış vektörünün büyüklüğünün karesi de iki katına çıkar:
$|\vec{J}_{yeni}|^2 = 2 \times |\vec{J}|^2 = 2 \times 40 = 80$.
Şimdi, yeni akış vektörünün büyüklüğünün karesini bulduğumuza göre, yeni akış vektörünün büyüklüğünü (şiddetini) bulmak için bu değerin karekökünü almalıyız:
$|\vec{J}_{yeni}| = \sqrt{80}$ mol/m²s.
Bu adımları takip ederek, reaksiyon hızını iki katına çıkardığımızda yeni akış vektörünün büyüklüğünün $\sqrt{80}$ mol/m²s olduğunu buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
