8. f(x) = e^(2x) + ln(3x) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2e^(2x) + 1/(3x)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, üstel ve logaritmik fonksiyonların türev kurallarını kullanarak bir fonksiyonun türevini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Verilen fonksiyonumuz $f(x) = e^{2x} + \ln(3x)$ şeklindedir. İki terimin toplamından oluştuğu için, türevini alırken her bir terimin türevini ayrı ayrı alıp toplayabiliriz. Yani, $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$ kuralını uygulayacağız.
Birinci terimin türevi: $e^{2x}$
Genel olarak, $e^{u(x)}$ şeklindeki bir fonksiyonun türevi $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ şeklindedir (zincir kuralı).
Burada $u(x) = 2x$'tir. $u(x)$'in türevi $u'(x) = 2$'dir.
O halde, $e^{2x}$'in türevi $2 \cdot e^{2x}$ yani $2e^{2x}$ olur.
İkinci terimin türevi: $\ln(3x)$
Genel olarak, $\ln(u(x))$ şeklindeki bir fonksiyonun türevi $\frac{u'(x)}{u(x)}$ şeklindedir (zincir kuralı).
Burada $u(x) = 3x$'tir. $u(x)$'in türevi $u'(x) = 3$'tür.
O halde, $\ln(3x)$'in türevi $\frac{3}{3x}$ olur.
Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde $\frac{1}{x}$ elde ederiz.
Şimdi bulduğumuz bu iki türevi toplayalım:
$f'(x) = (e^{2x})' + (\ln(3x))'$
$f'(x) = 2e^{2x} + \frac{1}{x}$
Bu sonuç, seçeneklere baktığımızda D seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap D seçeneğidir.
