Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları ve alanı verilmiş. Bizden $x$ değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.
- 1. Adım: Dik Üçgenin Alan Formülünü Hatırlayalım
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir. Yani, Alan $= \frac{1}{2} \times \text{dik kenar 1} \times \text{dik kenar 2}$ formülüyle bulunur.
- Soruda bize dik kenar uzunlukları $(x+2)$ cm ve $(x+4)$ cm olarak verilmiş. Alan ise $24$ cm²'dir.
- 2. Adım: Verilenleri Formülde Yerine Yazalım
- Alan formülünü kullanarak bir denklem oluşturalım:
- $\frac{1}{2} \times (x+2) \times (x+4) = 24$
- 3. Adım: Denklemi Çözmeye Başlayalım
- Denklemin her iki tarafını $2$ ile çarparak paydadaki $2$'den kurtulalım:
- $(x+2) \times (x+4) = 24 \times 2$
- $(x+2)(x+4) = 48$
- Şimdi parantez içindeki ifadeleri çarpalım (dağılma özelliğini kullanalım):
- $x \times x + x \times 4 + 2 \times x + 2 \times 4 = 48$
- $x^2 + 4x + 2x + 8 = 48$
- Benzer terimleri birleştirelim:
- $x^2 + 6x + 8 = 48$
- 4. Adım: Denklemi Standart Formda Yazalım ve Çözelim
- Denklemi $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde standart bir ikinci dereceden denklem haline getirelim. Bunun için $48$'i sol tarafa atalım:
- $x^2 + 6x + 8 - 48 = 0$
- $x^2 + 6x - 40 = 0$
- Şimdi bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak $x$ değerlerini bulalım. Çarpımları $-40$ olan ve toplamları $+6$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $+10$ ve $-4$'tür.
- Yani denklemi şu şekilde yazabiliriz:
- $(x+10)(x-4) = 0$
- Bu denklemin çözümleri için her bir çarpanı sıfıra eşitleyelim:
- $x+10 = 0 \implies x = -10$
- $x-4 = 0 \implies x = 4$
- 5. Adım: Geçerli Çözümü Seçelim
- Bir üçgenin kenar uzunluğu negatif olamaz. Bu yüzden $x$ değerini kontrol etmemiz gerekiyor.
- Eğer $x = -10$ olsaydı, dik kenar uzunlukları $(x+2) = (-10+2) = -8$ cm ve $(x+4) = (-10+4) = -6$ cm olurdu. Kenar uzunlukları negatif olamayacağı için $x = -10$ geçersiz bir çözümdür.
- Eğer $x = 4$ olsaydı, dik kenar uzunlukları $(x+2) = (4+2) = 6$ cm ve $(x+4) = (4+4) = 8$ cm olurdu. Bu uzunluklar pozitif ve geçerlidir.
- O halde doğru $x$ değeri $4$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
