Merhaba öğrenciler!
Bu soruda, kenar uzunlukları değişken içeren bir üçgenin çevresinin en az kaç olabileceğini bulmamız isteniyor. Bir üçgenin var olabilmesi için sağlaması gereken temel bir kural vardır: Üçgen Eşitsizliği Teoremi.
- 1. Adım: Üçgenin Kenar Uzunluklarını ve Çevresini Belirleyelim
- Üçgenin kenar uzunlukları: $a = |x-3|$, $b = |x+1|$ ve $c = 6$ birimdir.
- Üçgenin çevresi (P) bu kenar uzunluklarının toplamıdır: $P = |x-3| + |x+1| + 6$.
- 2. Adım: Üçgen Eşitsizliği Teoremini Hatırlayalım
- Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Yani:
- $a + b > c \Rightarrow |x-3| + |x+1| > 6$
- $a + c > b \Rightarrow |x-3| + 6 > |x+1|$
- $b + c > a \Rightarrow |x+1| + 6 > |x-3|$
- 3. Adım: $|x-3| + |x+1|$ İfadesinin Minimum Değerini Bulalım
- $|x-3|$ ifadesi, $x$ sayısının 3'e olan uzaklığını; $|x+1|$ ifadesi ise $x$ sayısının $-1$'e olan uzaklığını temsil eder.
- $|x-3| + |x+1|$ ifadesinin minimum değeri, $x$ sayısı $-1$ ile $3$ arasında (dahil) olduğunda elde edilir. Bu durumda, $x$ sayısı $-1$ ve $3$ noktaları arasında yer aldığından, bu iki noktaya olan uzaklıklarının toplamı, $-1$ ile $3$ arasındaki mesafe kadar olur.
- $-1$ ile $3$ arasındaki mesafe $3 - (-1) = 4$ birimdir.
- Yani, $|x-3| + |x+1|$ ifadesinin minimum değeri $4$'tür ve bu değer $-1 \le x \le 3$ aralığındaki tüm $x$ değerleri için geçerlidir.
- 4. Adım: Üçgen Eşitsizliği Teoremini Minimum Değerle Kontrol Edelim
- İlk üçgen eşitsizliği kuralı şuydu: $|x-3| + |x+1| > 6$.
- Bu ifadenin minimum değeri $4$ olduğuna göre, $4 > 6$ eşitsizliği yanlıştır.
- Bu durum, $x$ değerinin $-1 \le x \le 3$ aralığında olamayacağı anlamına gelir. Çünkü bu aralıkta $|x-3| + |x+1|$ ifadesi en fazla $4$ olur ve $6$'dan büyük olamaz.
- Dolayısıyla, üçgenin oluşabilmesi için $x$ ya $x < -1$ olmalı ya da $x > 3$ olmalıdır.
- 5. Adım: $x$ Değerinin Olası Aralıklarına Göre Çevreyi İnceleyelim
- Durum 1: $x < -1$ olduğunda
- $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ (çünkü $x-3$ negatif olur)
- $|x+1| = -(x+1) = -x-1$ (çünkü $x+1$ negatif olur)
- Kenar uzunlukları: $3-x$, $-x-1$ ve $6$.
- Çevre $P = (3-x) + (-x-1) + 6 = 8-2x$.
- Üçgen eşitsizliklerini kontrol edelim:
- $(3-x) + (-x-1) > 6 \Rightarrow 2-2x > 6 \Rightarrow -2x > 4 \Rightarrow x < -2$.
- Diğer iki eşitsizlik ($9-x > -x-1$ ve $-x+5 > 3-x$) her zaman doğru çıkar.
- Yani, bu durumda üçgenin oluşabilmesi için $x < -2$ olmalıdır.
- Eğer $x < -2$ ise, $-2x > 4$ olur.
- Bu durumda çevre $P = 8-2x > 8+4 = 12$ birim olur. Yani çevre $12$'den büyük olmalıdır.
- Durum 2: $x > 3$ olduğunda
- $|x-3| = x-3$ (çünkü $x-3$ pozitif olur)
- $|x+1| = x+1$ (çünkü $x+1$ pozitif olur)
- Kenar uzunlukları: $x-3$, $x+1$ ve $6$.
- Çevre $P = (x-3) + (x+1) + 6 = 2x+4$.
- Üçgen eşitsizliklerini kontrol edelim:
- $(x-3) + (x+1) > 6 \Rightarrow 2x-2 > 6 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4$.
- Diğer iki eşitsizlik ($x+3 > x+1$ ve $x+7 > x-3$) her zaman doğru çıkar.
- Yani, bu durumda üçgenin oluşabilmesi için $x > 4$ olmalıdır.
- Eğer $x > 4$ ise, $2x > 8$ olur.
- Bu durumda çevre $P = 2x+4 > 8+4 = 12$ birim olur. Yani çevre $12$'den büyük olmalıdır.
- 6. Adım: Minimum Çevreyi Belirleyelim
- Her iki geçerli durumda da (yani $x < -2$ veya $x > 4$ olduğunda), üçgenin çevresi $P > 12$ birim olmak zorundadır.
- Soruda çevrenin "en az kaç birim olabileceği" soruluyor. Çevre $12$'den büyük olmak zorunda olduğu için, $12$ olamaz.
- Seçeneklere baktığımızda: A) 12, B) 14, C) 16, D) 18.
- $12$'den büyük olan en küçük seçenek $14$'tür. Şimdi $14$'ün gerçekten elde edilip edilemeyeceğini kontrol edelim.
- 7. Adım: Çevrenin $14$ Olup Olamayacağını Kontrol Edelim
- Durum 1: $P = 8-2x = 14$ ise
- $8-2x = 14 \Rightarrow -2x = 6 \Rightarrow x = -3$.
- Bu $x$ değeri ($x=-3$), $x < -2$ koşulunu sağlar (çünkü $-3 < -2$).
- $x=-3$ için kenar uzunlukları: $|-3-3| = |-6| = 6$, $|-3+1| = |-2| = 2$, ve $6$.
- Kenarlar $6, 2, 6$ birimdir. Bu kenarlar üçgen eşitsizliğini sağlar ($6+2 > 6$, $6+6 > 2$).
- Çevre $6+2+6 = 14$ birimdir.
- Durum 2: $P = 2x+4 = 14$ ise
- $2x+4 = 14 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$.
- Bu $x$ değeri ($x=5$), $x > 4$ koşulunu sağlar (çünkü $5 > 4$).
- $x=5$ için kenar uzunlukları: $|5-3| = |2| = 2$, $|5+1| = |6| = 6$, ve $6$.
- Kenarlar $2, 6, 6$ birimdir. Bu kenarlar üçgen eşitsizliğini sağlar ($2+6 > 6$, $6+6 > 2$).
- Çevre $2+6+6 = 14$ birimdir.
- Her iki durumda da çevrenin $14$ birim olabileceğini ve bu değerin üçgen eşitsizliklerini sağladığını gördük.
Çevre $12$'den büyük olmak zorunda olduğu için ve $14$ birimlik bir çevre elde edilebildiği için, bu üçgenin çevresi en az $14$ birim olabilir.
Cevap B seçeneğidir.
