eˣ ve aˣ fonksiyonunun integrali

Question

e üzeri x'in integralini biliyorum ama e üzeri x dışındaki üstel ifadelerin integralini alırken kafam karışıyor. Özellikle taban farklı bir sayı olduğunda, mesela 2 üzeri x gibi, formülü tam olarak nasıl uygulayacağımı karıştırıyorum. Bu iki durum arasındaki farkı netleştirmek istiyorum.

Answer 1

📈 Üstel Fonksiyonların İntegrali

Üstel fonksiyonların integralini alırken temel kuralımız şudur: Üstel fonksiyonun integrali, yine kendisine çok benzer, sadece uygun bir sabit çarpan eklenir.

🎯 eˣ Fonksiyonunun İntegrali

Matematikte en önemli üstel fonksiyon, tabanı Euler sayısı (e ≈ 2.718) olan \( e^x \) fonksiyonudur. Bu fonksiyonun en güzel özelliklerinden biri, hem türevinin hem de integralinin kendisine eşit olmasıdır.

Belirsiz integral olarak:

\( \int e^x \, dx = e^x + C \)

Burada C integral sabitini temsil eder. ✅ Bu kural, \( e^x \)'in türevinin yine \( e^x \) olmasından kaynaklanır.

🔍 Örnek:

\( \int 5e^x \, dx = 5 \int e^x \, dx = 5e^x + C \)

➡️ Zincir Kuralı ile Genişletme

Eğer üstel ifadenin üssü basit bir x değil de, doğrusal bir ifadeyse (ax + b gibi), integral alırken zincir kuralının tersini uygularız.

\( \int e^{ax+b} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C \)

📌 Örnekler:

• \( \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C \) ✨
• \( \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C \) ✨
• \( \int 4e^{5x+2} \, dx = \frac{4}{5}e^{5x+2} + C \) ✨

🎯 aˣ Fonksiyonunun İntegrali (a > 0 ve a ≠ 1)

Tabanı e'den farklı bir a sayısı olan üstel fonksiyonların integrali biraz farklıdır. Bu durumda, integrali hesaplamak için üstel ifadeyi e tabanına dönüştürmek işimizi kolaylaştırır.

Temel formül:

\( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \)

Bu formülün ispatı için \( a^x = e^{x \ln(a)} \) dönüşümünü kullanırız:

\( \int a^x \, dx = \int e^{x \ln(a)} \, dx = \frac{1}{\ln(a)}e^{x \ln(a)} + C = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \)

📌 Örnekler:

• \( \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln(2)} + C \) 🔢
• \( \int 10^x \, dx = \frac{10^x}{\ln(10)} + C \) 🔢
• \( \int \left(\frac{1}{2}\right)^x \, dx = \frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)} + C \) 🔢

💡 Önemli Kurallar

• ✅ \( \int e^x \, dx = e^x + C \)
• ✅ \( \int e^{kx} \, dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C \)
• ✅ \( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \)
• ✅ İntegral sabiti (C) unutulmamalı!

🎓 Pratik Uygulama

Bu kuralları kullanarak daha karmaşık integralleri de çözebiliriz:

\( \int (3e^x + 2^x) \, dx = 3e^x + \frac{2^x}{\ln(2)} + C \)

\( \int (e^{2x} - 5^x) \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{5^x}{\ln(5)} + C \)

Üstel fonksiyonların integrali, bu temel kuralları öğrendikten sonra oldukça kolaylaşır! 📚