Bir örüntünün terimleri arasındaki ilişki şu şekildedir: 1. terim: 2, 2. terim: 6, 3. terim: 18, 4. terim: 54. Buna göre bu örüntünün kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2×3ⁿ⁻¹
B) 3×2ⁿ⁻¹
C) 2n+4
D) 4n-2
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür örüntü sorularında, terimler arasındaki gizli ilişkiyi bulmak, kuralı ortaya çıkarmak için en önemli adımdır. Hadi birlikte bu örüntünün kuralını adım adım keşfedelim.
- 1. Adım: Verilen Terimleri İnceleyelim
- Örüntümüzün terimleri şunlardır:
- 1. terim: $2$
- 2. terim: $6$
- 3. terim: $18$
- 4. terim: $54$
- 2. Adım: Terimler Arasındaki İlişkiyi Bulalım
- Bir terimden diğerine geçerken nasıl bir değişim olduğunu anlamaya çalışalım.
- 2. terim ($6$) ile 1. terim ($2$) arasındaki ilişki: $6 \div 2 = 3$
- 3. terim ($18$) ile 2. terim ($6$) arasındaki ilişki: $18 \div 6 = 3$
- 4. terim ($54$) ile 3. terim ($18$) arasındaki ilişki: $54 \div 18 = 3$
- Görüyoruz ki, her terim bir önceki terimin $3$ katıdır. Bu, bir geometrik dizidir ve ortak çarpanı (oranı) $r = 3$'tür.
- 3. Adım: Geometrik Dizi Kuralını Hatırlayalım
- Bir geometrik dizinin genel kuralı (yani $n$. terimi veren formül) şu şekildedir: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
- Burada:
- $a_n$: Örüntünün $n$. terimi
- $a_1$: Örüntünün ilk terimi
- $r$: Ortak çarpan (her terimin bir önceki terime oranı)
- $n$: Terim numarası (kaçıncı terimi bulmak istediğimiz)
- 4. Adım: Kuralı Oluşturalım
- Bulduğumuz değerleri genel kurala yerleştirelim:
- İlk terimimiz $a_1 = 2$
- Ortak çarpanımız $r = 3$
- Bu durumda örüntünün kuralı: $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ olur.
- 5. Adım: Seçenekleri Kontrol Edelim
- Şimdi bulduğumuz kuralı seçeneklerle karşılaştıralım ve diğer seçenekleri de test edelim.
- A) $2 \times 3^{n-1}$
- Bu, bizim bulduğumuz kural ile tamamen aynıdır. Doğruluğunu kontrol edelim:
- $n=1$ için: $2 \times 3^{1-1} = 2 \times 3^0 = 2 \times 1 = 2$ (Doğru)
- $n=2$ için: $2 \times 3^{2-1} = 2 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6$ (Doğru)
- $n=3$ için: $2 \times 3^{3-1} = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$ (Doğru)
- $n=4$ için: $2 \times 3^{4-1} = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$ (Doğru)
- Bu seçenek tüm terimleri doğru vermektedir.
- B) $3 \times 2^{n-1}$
- $n=1$ için: $3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3 \times 1 = 3$ (İlk terim $2$ olmalıydı, bu yanlış.)
- C) $2n+4$
- $n=1$ için: $2(1)+4 = 2+4 = 6$ (İlk terim $2$ olmalıydı, bu yanlış.)
- D) $4n-2$
- $n=1$ için: $4(1)-2 = 4-2 = 2$ (Doğru)
- $n=2$ için: $4(2)-2 = 8-2 = 6$ (Doğru)
- $n=3$ için: $4(3)-2 = 12-2 = 10$ (Üçüncü terim $18$ olmalıydı, bu yanlış.)
Tüm adımları tamamladığımızda, örüntünün kuralının $2 \times 3^{n-1}$ olduğunu kesin olarak görmüş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
