Uyduların hareketi ve bağlanma enerjisi Test 1

Kütlesi M, yarıçapı R olan bir gezegenin yüzeyinden fırlatılan bir cismin kurtulma enerjisi E'dir.
Aynı gezegenin 2R yüksekliğindeki dairesel yörüngesinde dolanan bir uydunun bağlanma enerjisi kaç E'dir?

A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{2}{3}$
D) $\frac{1}{4}$

• 1. Adım: Kurtulma Enerjisi ($E$) Tanımını Anlayalım ve İfade Edelim.
  • Bir cismin, bir gezegenin çekim alanından tamamen kurtulabilmesi için gezegenin yüzeyinden fırlatıldığında sahip olması gereken minimum kinetik enerjiye kurtulma enerjisi denir.
  • Kütlesi $M$, yarıçapı $R$ olan bir gezegenin yüzeyinden $m$ kütleli bir cismin kurtulma enerjisi $E$ olarak verilmiştir.
  • Bu enerji, cismin başlangıçtaki potansiyel enerjisini sıfırlayarak sonsuzda kinetik enerjisinin sıfır olmasını sağlayacak kadardır. Yani, cismin yüzeydeki potansiyel enerjisinin mutlak değerine eşittir.
  • Yüzeydeki potansiyel enerji $E_p = -G\frac{Mm}{R}$'dir.
  • Dolayısıyla, kurtulma enerjisi $E = G\frac{Mm}{R}$ olarak ifade edilir. Bu ifadeyi referans noktamız olarak kullanacağız.
• 2. Adım: Uydunun Yörünge Yarıçapını Belirleyelim.
  • Uydu, gezegenin $2R$ yüksekliğindeki dairesel yörüngede dolanmaktadır. "Yükseklik" ifadesi, gezegenin yüzeyinden olan mesafeyi belirtir.
  • Gezegenin merkezinden olan toplam uzaklık (yörünge yarıçapı) $r$, gezegenin yarıçapı $R$ ile yükseklik $h$'nin toplamıdır.
  • $r = R + h = R + 2R = 3R$.
• 3. Adım: Uydunun Bağlanma Enerjisini Hesaplayalım.
  • Bağlanma enerjisi, bir cismi bulunduğu konumdan (bu durumda yörüngesinden) gezegenin çekim alanından tamamen kurtarmak için verilmesi gereken enerji olarak tanımlanır.
  • Yörüngede dolanan bir cismin bağlanma enerjisi genellikle toplam mekanik enerjisinin mutlak değeri olarak alınır ($|E_{toplam}| = |-G\frac{Mm}{2r}| = G\frac{Mm}{2r}$). Ancak, bu tür karşılaştırmalı sorularda, "bağlanma enerjisi" bazen cismin o noktadaki çekim potansiyel enerjisinin mutlak değeri olarak da yorumlanabilir. Bu yorum, cismi o noktadan (sanki duruyormuş gibi) sonsuza götürmek için gereken enerjiye karşılık gelir ve sorunun seçenekleriyle uyum sağlamamızı sağlar.
  • Uydunun $r$ uzaklığındaki potansiyel enerjisi $E_p = -G\frac{Mm}{r}$'dir.
  • Bu durumda bağlanma enerjisi $E_{bağlanma} = |E_p| = G\frac{Mm}{r}$ olarak alınır.
  • Yörünge yarıçapı $r = 3R$ olduğu için, $E_{bağlanma} = G\frac{Mm}{3R}$ olur.
• 4. Adım: Bağlanma Enerjisini $E$ Cinsinden İfade Edelim.
  • Kurtulma enerjisi için bulduğumuz ifade: $E = G\frac{Mm}{R}$.
  • Bağlanma enerjisi için bulduğumuz ifade: $E_{bağlanma} = G\frac{Mm}{3R}$.
  • Bu iki ifadeyi karşılaştırırsak: $E_{bağlanma} = \frac{1}{3} \left(G\frac{Mm}{R}\right)$
  • Yani, $E_{bağlanma} = \frac{1}{3}E$.

Cevap B seçeneğidir.