Mutlak değer fonksiyonu g(x) = |x| ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Fonksiyonun görüntü kümesi [0, ∞)'durMutlak değer fonksiyonu $g(x) = |x|$ ile ilgili verilen ifadeleri adım adım inceleyelim:
Mutlak değer fonksiyonu, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve bu uzaklık hiçbir zaman negatif olamaz. Yani, $g(x) = |x|$ fonksiyonunun çıktısı (görüntüsü) her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyük bir değerdir. Örneğin, $|-3|=3$, $|0|=0$, $|5|=5$. Bu nedenle, fonksiyonun görüntü kümesi tüm pozitif reel sayılar ve sıfırdır, yani $[0, \infty)$. Bu ifade doğrudur.
Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için o noktada "pürüzsüz" olması gerekir. $g(x) = |x|$ fonksiyonunun grafiği $x=0$ noktasında sivri bir köşe (kırılma noktası) oluşturur. Bu tür noktalarda fonksiyonun türevi yoktur. Sağdan türev ($x \to 0^+$ için $g'(x)=1$) ve soldan türev ($x \to 0^-$ için $g'(x)=-1$) birbirine eşit olmadığı için $x=0$ noktasında türev yoktur. Bu ifade doğrudur.
Bir fonksiyonun sürekli olması demek, grafiğini çizerken kalemi hiç kaldırmadan çizebilmemiz demektir. $g(x) = |x|$ fonksiyonunun grafiği, $x=0$ noktasında bir kırılma olsa da, herhangi bir kopma veya sıçrama içermez. Fonksiyonun limiti her noktada fonksiyonun değerine eşittir. Bu nedenle, mutlak değer fonksiyonu tüm reel sayılarda süreklidir. Bu ifade doğrudur.
Bir fonksiyonun orijine göre simetrik olması için tek fonksiyon olması gerekir, yani $f(-x) = -f(x)$ koşulunu sağlamalıdır. Şimdi $g(x) = |x|$ fonksiyonunu bu koşula göre inceleyelim:
Gördüğümüz gibi, $g(-x) = |x|$ iken $-g(x) = -|x|$'dir. Genel olarak $|x| \ne -|x|$ (sadece $x=0$ için eşittirler). Dolayısıyla, $g(-x) \ne -g(x)$'dir. Bu yüzden $g(x) = |x|$ fonksiyonu orijine göre simetrik değildir.
Aslında, $g(-x) = |-x| = |x| = g(x)$ olduğu için, $g(x) = |x|$ fonksiyonu y-eksenine göre simetriktir (çift fonksiyondur). Bu ifade yanlıştır.
Cevap D seçeneğidir.
