9. Sınıf g(x) = |x| Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Nitel Özellikleri Nedir? Test 1

Bir öğrenci g(x) = |x| fonksiyonunun türevini inceliyor ve şu sonuçlara varıyor:
I. x > 0 için türev 1'dir
II. x < 0 için türev -1'dir
III. x = 0 için türev 0'dır
Öğrencinin hangi sonucu yanlıştır?

A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
D) I ve II

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda mutlak değer fonksiyonunun türevini adım adım inceleyerek öğrencinin hangi sonucunun yanlış olduğunu bulacağız. Mutlak değer fonksiyonu, kritik noktası olan $x=0$ noktasında özel bir davranış sergiler.

• Fonksiyonu Tanıyalım:

  Verilen fonksiyon $g(x) = |x|$ şeklindedir. Mutlak değer fonksiyonunu parçalı olarak şu şekilde yazabiliriz:

  • Eğer $x > 0$ ise, $g(x) = x$
  • Eğer $x < 0$ ise, $g(x) = -x$
  • Eğer $x = 0$ ise, $g(x) = 0$
• I. Durumu İnceleyelim ($x > 0$ için türev):

  Öğrencinin ilk sonucu, $x > 0$ için türevin $1$ olduğudur.

  • $x > 0$ olduğunda, $g(x) = x$ olur.
  • Bu durumda, $g'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$ olur.
  • Dolayısıyla, öğrencinin I. sonucu doğrudur.
• II. Durumu İnceleyelim ($x < 0$ için türev):

  Öğrencinin ikinci sonucu, $x < 0$ için türevin $-1$ olduğudur.

  • $x < 0$ olduğunda, $g(x) = -x$ olur.
  • Bu durumda, $g'(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1$ olur.
  • Dolayısıyla, öğrencinin II. sonucu doğrudur.
• III. Durumu İnceleyelim ($x = 0$ için türev):

  Öğrencinin üçüncü sonucu, $x = 0$ için türevin $0$ olduğudur. Bir fonksiyonun bir noktada türevinin var olabilmesi için, o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.

  • Sağdan Türev ($x \to 0^+$):

    Sağdan türev limit tanımıyla hesaplanır: $g'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{g(0+h) - g(0)}{h}$

    Burada $h > 0$ olduğu için $|h| = h$ ve $g(0) = |0| = 0$ olur.

    $g'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$.

  • Soldan Türev ($x \to 0^-$):

    Soldan türev limit tanımıyla hesaplanır: $g'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{g(0+h) - g(0)}{h}$

    Burada $h < 0$ olduğu için $|h| = -h$ ve $g(0) = |0| = 0$ olur.

    $g'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$.

  • Sonuç:

    Sağdan türev ($1$) ve soldan türev ($-1$) birbirine eşit değildir ($1 \neq -1$).

    Bu durumda, $g(x) = |x|$ fonksiyonunun $x = 0$ noktasında türevi yoktur.

    Dolayısıyla, öğrencinin III. sonucu yanlıştır.

• Yanlış Sonucun Belirlenmesi:

  Yaptığımız incelemeler sonucunda, öğrencinin I. ve II. sonuçları doğru, III. sonucu ise yanlıştır.

Cevap C seçeneğidir.