Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $g(x) = |x|$ fonksiyonunun $x = 0$ noktasındaki davranışını inceleyeceğiz. Fonksiyonun süreklilik, türevlenebilirlik ve yerel minimum özelliklerini adım adım değerlendirelim.
- I. Süreklilik (Continuity)
- Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için üç şartı sağlaması gerekir:
- Fonksiyon o noktada tanımlı olmalıdır.
- Fonksiyonun o noktadaki limiti var olmalıdır.
- Fonksiyonun o noktadaki değeri, limit değerine eşit olmalıdır.
- $x = 0$ için $g(x) = |x|$ fonksiyonunu inceleyelim:
- $g(0) = |0| = 0$. Fonksiyon $x=0$ noktasında tanımlıdır.
- Limitini inceleyelim:
- Sağdan limit: $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} |x| = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.
- Soldan limit: $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} |x| = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.
- Sağdan ve soldan limitler eşit olduğu için $\lim_{x \to 0} g(x) = 0$.
- Fonksiyonun değeri ile limiti karşılaştıralım: $g(0) = 0$ ve $\lim_{x \to 0} g(x) = 0$. Bu değerler birbirine eşittir.
- Bu durumda, $g(x) = |x|$ fonksiyonu $x = 0$ noktasında süreklidir. I. ifade doğrudur.
- II. Türevlenebilirlik (Differentiability)
- Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin var ve birbirine eşit olması gerekir.
- Sağdan türev: $g'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1$.
- Soldan türev: $g'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-1) = -1$.
- Sağdan türev ($1$) ve soldan türev ($-1$) birbirine eşit değildir. Bu durum, fonksiyonun grafiğinde $x=0$ noktasında "köşe" veya "kırılma" olduğunu gösterir.
- Bu durumda, $g(x) = |x|$ fonksiyonu $x = 0$ noktasında türevlenebilir değildir. II. ifade yanlıştır.
- III. Yerel Minimum Noktası (Local Minimum Point)
- Bir fonksiyonun bir noktada yerel minimuma sahip olması için, o noktadaki fonksiyon değerinin, o noktanın etrafındaki bir açık aralıktaki tüm fonksiyon değerlerinden küçük veya eşit olması gerekir.
- $g(0) = |0| = 0$.
- $x=0$ noktasının etrafındaki herhangi bir $x$ değeri için (örneğin $(-1, 1)$ aralığında), $x \ne 0$ ise $g(x) = |x| > 0$ olacaktır.
- Yani, $g(0) = 0$ değeri, $x=0$ noktasının etrafındaki tüm diğer $g(x)$ değerlerinden daha küçüktür (veya eşittir). Aslında, $g(0)$ fonksiyonun alabileceği en küçük değerdir, bu da onu hem yerel minimum hem de global minimum yapar.
- Bu durumda, $x = 0$ noktası $g(x) = |x|$ fonksiyonu için bir yerel minimum noktasıdır. III. ifade doğrudur.
Sonuç olarak, I. ve III. ifadeler doğrudur, II. ifade yanlıştır.
Cevap C seçeneğidir.
