Matematik öğretmeni tahtaya $\sqrt{2}$, $\pi$, $-5$ ve $\frac{3}{4}$ sayılarını yazmıştır.
Bu sayıların tamamının ait olduğu en geniş sayı kümesi hangisidir?
A) Doğal Sayılar
B) Tam Sayılar
C) Rasyonel Sayılar
D) Reel Sayılar
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bize verilen farklı türdeki sayıların hepsini birden kapsayan en geniş sayı kümesini bulmamız isteniyor. Sayıları tek tek inceleyelim ve hangi kümelere ait olduklarını belirleyelim:
- $\sqrt{2}$ (Karekök 2): Bu sayı, ondalık açılımı düzensiz ve sonsuz olan bir sayıdır. Yani $ rac{a}{b}$ şeklinde (iki tam sayının oranı olarak) yazılamaz. Bu tür sayılara İrrasyonel Sayılar denir. İrrasyonel sayılar, doğal sayı, tam sayı veya rasyonel sayı değildir.
- $\pi$ (Pi sayısı): Bu sayı da $\sqrt{2}$ gibi ondalık açılımı düzensiz ve sonsuz olan bir sayıdır. $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılamaz. Bu nedenle $\pi$ de bir İrrasyonel Sayıdır.
- $-5$ (Eksi 5): Bu sayı, negatif bir tam sayıdır. Tam sayılar kümesine aittir. Aynı zamanda $ rac{-5}{1}$ şeklinde yazılabildiği için bir Rasyonel Sayıdır.
- $ rac{3}{4}$ (Üç bölü dört): Bu sayı, iki tam sayının oranı şeklinde yazılmıştır ($a=3$, $b=4$). Bu tanıma uyan sayılara Rasyonel Sayılar denir.
Şimdi seçeneklerdeki sayı kümelerini ve bu sayıların onlara ait olup olmadığını değerlendirelim:
- A) Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): Bu küme $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ gibi pozitif tam sayıları ve sıfırı içerir. Verilen sayılardan hiçbiri doğal sayı değildir ($-5$ negatif, $\sqrt{2}$ ve $\pi$ irrasyonel, $ rac{3}{4}$ kesirli). Bu seçenek elenir.
- B) Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Bu küme $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ gibi pozitif ve negatif tam sayıları içerir. Verilen sayılardan sadece $-5$ bir tam sayıdır. $\sqrt{2}$, $\pi$ ve $ rac{3}{4}$ tam sayı değildir. Bu seçenek elenir.
- C) Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): Bu küme $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen tüm sayıları içerir ($a, b$ tam sayı ve $b \neq 0$). Verilen sayılardan $-5$ ($ rac{-5}{1}$) ve $ rac{3}{4}$ rasyonel sayıdır. Ancak $\sqrt{2}$ ve $\pi$ rasyonel sayı değildir, bunlar irrasyoneldir. Bu seçenek de elenir.
- D) Reel Sayılar ($\mathbb{R}$): Bu küme, tüm rasyonel sayılar ve tüm irrasyonel sayıların birleşimidir. Sayı doğrusundaki her noktayı temsil eder.
- $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır, dolayısıyla bir reel sayıdır.
- $\pi$ bir irrasyonel sayıdır, dolayısıyla bir reel sayıdır.
- $-5$ bir tam sayıdır, dolayısıyla bir rasyonel sayıdır, dolayısıyla bir reel sayıdır.
- $ rac{3}{4}$ bir rasyonel sayıdır, dolayısıyla bir reel sayıdır.
Gördüğümüz gibi, verilen sayıların tamamı Reel Sayılar kümesinin elemanıdır. Bu küme, tüm bu sayıları içeren en geniş kümedir.
Bu nedenle, verilen sayıların tamamının ait olduğu en geniş sayı kümesi Reel Sayılar kümesidir.
Cevap D seçeneğidir.
