Merkezi O noktası olan bir çemberde, A ve B noktaları çember üzerindedir. |OA| = 5 cm ve |AB| = 8 cm olduğuna göre, O noktasının [AB] kirişine olan uzaklığı kaç cm'dir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir çemberin merkezi, çember üzerindeki noktalar ve bir kiriş arasındaki ilişkileri kullanarak geometri bilgilerimizi pekiştireceğiz. Adım adım ilerleyerek çözümümüze ulaşalım.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Merkezi O noktası olan bir çemberimiz var.
- A ve B noktaları bu çemberin üzerinde bulunuyor.
- $|OA| = 5$ cm olarak verilmiş. O noktası merkez, A noktası çember üzerinde olduğuna göre, $|OA|$ uzunluğu çemberin yarıçapıdır ($r$). Yani, $r = 5$ cm.
- $|AB| = 8$ cm olarak verilmiş. A ve B noktaları çember üzerinde olduğu için [AB] bir kiriştir.
- Bizden istenen, O noktasının [AB] kirişine olan uzaklığıdır.
- 2. Geometrik Özellikleri Hatırlayalım:
- Bir çemberde, merkezden bir kirişe indirilen dikme, kirişi iki eşit parçaya böler. Bu dikmenin uzunluğu, merkezin kirişe olan uzaklığıdır.
- 3. Çizim ve İşaretleme Yapalım (Zihinsel veya Kağıt Üzerinde):
- O merkezli bir çember hayal edin. [AB] kirişini çizin.
- O noktasından [AB] kirişine bir dikme indirin. Bu dikmenin [AB] kirişini kestiği noktaya H diyelim.
- Bu durumda, $OH \perp AB$ olur ve $|OH|$ uzunluğu, O noktasının [AB] kirişine olan uzaklığıdır.
- Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortaladığı için, $|AH| = |HB|$ olacaktır.
- 4. Kirişin Yarısını Bulalım:
- $|AB| = 8$ cm olduğuna göre, H noktası [AB] kirişini ortaladığı için $|AH| = |AB| / 2 = 8 / 2 = 4$ cm olur.
- 5. Dik Üçgeni Tanımlayalım:
- Şimdi $\triangle OHA$ üçgenine bakalım. $OH \perp AB$ olduğu için bu bir dik üçgendir.
- Bu dik üçgende:
- Hipotenüs, çemberin yarıçapı olan $|OA|$'dır. $|OA| = 5$ cm.
- Bir dik kenar, kirişin yarısı olan $|AH|$'dir. $|AH| = 4$ cm.
- Diğer dik kenar ise, aradığımız O noktasının kirişe olan uzaklığı olan $|OH|$'dir.
- 6. Pisagor Teoremini Uygulayalım:
- Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: $|OA|^2 = |OH|^2 + |AH|^2$.
- Verilen değerleri yerine yazalım: $5^2 = |OH|^2 + 4^2$.
- Hesaplamayı yapalım: $25 = |OH|^2 + 16$.
- $|OH|^2$ değerini bulmak için 16'yı eşitliğin diğer tarafına atalım: $|OH|^2 = 25 - 16$.
- $|OH|^2 = 9$.
- $|OH|$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: $|OH| = \sqrt{9}$.
- Sonuç olarak, $|OH| = 3$ cm bulunur.
Buna göre, O noktasının [AB] kirişine olan uzaklığı $3$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
