\( 27^4 = 3^x \) olduğuna göre, x kaçtır?
A) 7Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, üslü sayılarla ilgili temel bilgimizi kullanarak bir denklemi çözmemiz isteniyor. Amacımız, denklemin her iki tarafındaki sayıların tabanlarını aynı hale getirerek üsleri eşitlemek.
Verilen denklem $ 27^4 = 3^x $ şeklindedir. Denklemin sağ tarafında taban $3$ iken, sol tarafında taban $27$'dir. $27$ sayısının $3$'ün bir kuvveti olarak yazılabileceğini fark etmeliyiz. $27$, $3 \times 3 \times 3$ demektir, yani $3^3$'e eşittir.
Şimdi denklemdeki $27$ yerine $3^3$ yazarsak, sol taraf $ (3^3)^4 $ olur. Denklemin yeni hali şu şekildedir:
$ (3^3)^4 = 3^x $
Üslü sayılarda bir kural vardır: $ (a^m)^n = a^{m \times n} $. Yani, bir sayının üssünün tekrar üssü alındığında, üsler çarpılır. Bu kuralı $ (3^3)^4 $ ifadesine uygulayalım:
$ (3^3)^4 = 3^{3 \times 4} = 3^{12} $
Şimdi denklemin sol tarafını $3^{12}$ olarak bulduk. Denklemin yeni hali şöyledir:
$ 3^{12} = 3^x $
Eğer iki üslü ifade birbirine eşitse ve tabanları da aynıysa (bu durumda ikisi de $3$), o zaman üsleri de birbirine eşit olmalıdır. Bu durumda:
$ x = 12 $
Böylece $x$ değerini $12$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
