D = {x | x ∈ R ve x² = -1} kümesinin türü nedir?
A) Sonlu kümeSevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen kümenin türünü belirleyeceğiz. Kümemiz $D = \{x | x \in R \text{ ve } x^2 = -1\}$ olarak tanımlanmış.
Bir kümenin elemanlarını belirlemek için, elemanların hangi koşulları sağlaması gerektiğini dikkatlice incelemeliyiz. $D$ kümesi, iki temel koşulu sağlayan $x$ elemanlarından oluşur:
Birinci koşul: $x \in R$. Bu, $x$'in bir gerçel (reel) sayı olması gerektiği anlamına gelir. Gerçel sayılar, sayı doğrusu üzerinde gösterebildiğimiz tüm sayılardır (pozitif, negatif, sıfır, kesirli, ondalıklı, köklü sayılar vb.).
İkinci koşul: $x^2 = -1$. Bu, $x$ sayısının karesinin $-1$'e eşit olması gerektiği anlamına gelir.
Şimdi $x^2 = -1$ koşulunu, $x$'in bir gerçel sayı olduğu varsayımıyla değerlendirelim. Bir gerçel sayının karesi hakkında ne biliyoruz?
Eğer $x$ pozitif bir gerçel sayı ise (örneğin $x=2$), karesi $x^2 = 2^2 = 4$ olur ve bu da pozitif bir sayıdır.
Eğer $x$ negatif bir gerçel sayı ise (örneğin $x=-3$), karesi $x^2 = (-3)^2 = 9$ olur ve bu da pozitif bir sayıdır.
Eğer $x$ sıfır ise ($x=0$), karesi $x^2 = 0^2 = 0$ olur.
Görüyoruz ki, herhangi bir gerçel sayının karesi daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani, her $x \in R$ için $x^2 \ge 0$ eşitsizliği geçerlidir.
Bizim kümemizin tanımında $x^2 = -1$ koşulu var. Ancak az önce öğrendiğimiz gibi, hiçbir gerçel sayının karesi negatif bir sayı olamaz. Bir gerçel sayının karesi en az $0$ olabilir.
Bu durumda, $x^2 = -1$ koşulunu sağlayan hiçbir gerçel sayı $x$ bulunmamaktadır.
Madem ki $D$ kümesinin tanımındaki koşulları sağlayan hiçbir gerçel sayı $x$ yok, o zaman $D$ kümesinin içinde hiçbir eleman bulunmaz. İçinde hiçbir eleman bulunmayan kümelere boş küme denir ve genellikle $\emptyset$ veya $\{\}$ sembolleriyle gösterilir.
Bu nedenle, $D$ kümesi bir boş kümedir.
Cevap C seçeneğidir.
