🎓 Bir önermenin tersi nedir Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, "Bir önermenin tersi nedir Test 1" sınavında karşılaşacağın matematiksel mantık konularını kapsar. Önermeler, doğruluk değerleri, değilleme ve özellikle koşullu önermenin karşıtı, tersi ve karşıt tersi gibi temel kavramları sade bir dille açıklayacağız.
📌 Önerme Nedir?
📝 Bir önerme, doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir. Bir ifade hem doğru hem de yanlış olamaz.
- Önermeler genellikle $p, q, r$ gibi küçük harflerle gösterilir.
- Soru cümleleri, emir cümleleri veya dilek cümleleri önerme değildir, çünkü kesin bir doğruluk değeri taşımazlar.
💡 İpucu: "Hava güzel mi?" bir önerme değildir. Ama "Hava güzeldir." bir önermedir (doğru ya da yanlış olabilir).
📌 Önermenin Doğruluk Değeri
✅ Bir önermenin doğru ya da yanlış olma durumuna doğruluk değeri denir.
- Doğru önermelerin doğruluk değeri 1 (D) ile, yanlış önermelerin doğruluk değeri ise 0 (Y) ile gösterilir.
- Bir önermenin iki farklı doğruluk değeri olabilir: doğru (1) veya yanlış (0).
📌 Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)
❌ Bir önermenin hükmünü değiştiren yeni önermeye, o önermenin değili (olumsuzu) denir.
- $p$ önermesinin değili $p'$ veya $\neg p$ şeklinde gösterilir.
- Eğer bir $p$ önermesi doğru (1) ise, değili $p'$ yanlış (0) olur. Eğer $p$ yanlış (0) ise, değili $p'$ doğru (1) olur.
- Örnek: $p$: "Ankara Türkiye'nin başkentidir." ($p \equiv 1$) $\implies$ $p'$: "Ankara Türkiye'nin başkenti değildir." ($p' \equiv 0$)
⚠️ Dikkat: Bir önermenin değilinin değili, önermenin kendisine eşittir. Yani $(p')' \equiv p$ veya $\neg (\neg p) \equiv p$.
📌 Koşullu Önerme ("İse" Bağlacı)
➡️ İki önermenin "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan yeni önermeye koşullu önerme denir.
- $p$ ve $q$ iki önerme olmak üzere, "$p$ ise $q$" önermesi $p \implies q$ şeklinde gösterilir.
- $p$ önermesine hipotez (varsayım), $q$ önermesine ise hüküm (sonuç) denir.
- Koşullu önerme ($p \implies q$) sadece $p$ doğru iken $q$ yanlış olduğunda yanlış (0) değerini alır. Diğer tüm durumlarda doğrudur (1).
💡 İpucu: "100 kuralı" olarak da bilinir: $1 \implies 0$ durumu hariç her zaman doğrudur. (Yani doğru bir varsayımdan yanlış bir sonuç çıkarsa önerme yanlış olur.)
📌 Bir Koşullu Önermenin Karşıtı
🔄 Bir $p \implies q$ koşullu önermesinin hipotez ve hükmünün yer değiştirmesiyle oluşan önermeye karşıtı denir.
- $p \implies q$ önermesinin karşıtı $q \implies p$ şeklindedir.
- Örnek: $p \implies q$: "Yağmur yağarsa, yerler ıslanır." $\implies$ Karşıtı $q \implies p$: "Yerler ıslanırsa, yağmur yağmıştır."
📌 Bir Koşullu Önermenin Tersi
↩️ Bir $p \implies q$ koşullu önermesinin hem hipotezinin hem de hükmünün değilinin alınmasıyla oluşan önermeye tersi denir.
- $p \implies q$ önermesinin tersi $\neg p \implies \neg q$ şeklindedir.
- Örnek: $p \implies q$: "Yağmur yağarsa, yerler ıslanır." $\implies$ Tersi $\neg p \implies \neg q$: "Yağmur yağmazsa, yerler ıslanmaz."
📝 Örnek: $p$: "Sayı çifttir." $q$: "Sayı 2'ye tam bölünür."
$p \implies q$: "Sayı çift ise, sayı 2'ye tam bölünür."
Tersi $\neg p \implies \neg q$: "Sayı çift değil ise, sayı 2'ye tam bölünmez." (Yani "Sayı tek ise, sayı 2'ye tam bölünmez.")
📌 Bir Koşullu Önermenin Karşıt Tersi
↪️ Bir $p \implies q$ koşullu önermesinin hem hipotez ve hükmünün yer değiştirip hem de değillerinin alınmasıyla oluşan önermeye karşıt tersi denir.
- $p \implies q$ önermesinin karşıt tersi $\neg q \implies \neg p$ şeklindedir.
- Örnek: $p \implies q$: "Yağmur yağarsa, yerler ıslanır." $\implies$ Karşıt Tersi $\neg q \implies \neg p$: "Yerler ıslanmazsa, yağmur yağmamıştır."
💡 İpucu: Bir koşullu önerme ile onun karşıt tersinin doğruluk değerleri her zaman aynıdır. Yani $p \implies q \equiv \neg q \implies \neg p$. Bu, mantıkta çok önemli bir denkliktir!
📌 Denk Önermeler
⚖️ Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir.
- $p$ ve $q$ önermeleri denk ise $p \equiv q$ şeklinde gösterilir.
- Yukarıda belirtildiği gibi, bir koşullu önerme kendi karşıt tersine denktir. Yani "$p \implies q$" önermesi ile "$\neg q \implies \neg p$" önermesi denktir.
- Ancak, bir koşullu önerme ($p \implies q$) genellikle karşıtına ($q \implies p$) veya tersine ($\neg p \implies \neg q$) denk değildir.
