ABC üçgeninde [DE] // [BC] olacak şekilde D ve E noktaları sırasıyla [AB] ve [AC] kenarları üzerinde alınıyor. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |DE| = 8 cm olduğuna göre, |BC| kaç cm'dir?
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, üçgenlerde benzerlik konusunu kullanarak bir kenar uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Problemi Anlayalım: Bize bir ABC üçgeni verilmiş. Bu üçgenin içinde, [DE] doğru parçası [BC] kenarına paralel olacak şekilde çizilmiş. D noktası [AB] üzerinde, E noktası ise [AC] üzerindedir. Bazı uzunluklar verilmiş: $|AD| = 4$ cm, $|DB| = 6$ cm ve $|DE| = 8$ cm. Bizden istenen, $|BC|$ uzunluğunu bulmak.
- Temel Kuralı Hatırlayalım: Bir üçgende, bir kenara paralel olarak çizilen bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, küçük bir üçgen oluşturur. Bu küçük üçgen, büyük üçgenle benzerdir. Yani, $[DE] // [BC]$ olduğu için, $\triangle ADE$ üçgeni ile $\triangle ABC$ üçgeni benzerdir ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$).
- Benzer Üçgenlerin Kenar Oranlarını Belirleyelim: Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu oran, benzerlik oranı olarak adlandırılır.
- $\triangle ADE$'nin AD kenarı, $\triangle ABC$'nin AB kenarına karşılık gelir.
- $\triangle ADE$'nin DE kenarı, $\triangle ABC$'nin BC kenarına karşılık gelir.
- Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım:
- Öncelikle, büyük üçgenin AB kenarının uzunluğunu bulmalıyız. $|AB| = |AD| + |DB|$ şeklindedir.
- Verilen değerleri yerine yazarsak: $|AB| = 4 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$.
- Orantıyı Kuralım: Benzerlikten dolayı kenar oranları eşit olacaktır:
$$ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} $$
- Değerleri Yerine Yazıp Çözelim: Şimdi bildiğimiz uzunlukları bu orantıya yerleştirelim:
$$ \frac{4}{10} = \frac{8}{|BC|} $$
İçler dışlar çarpımı yaparak $|BC|$ uzunluğunu bulabiliriz:
$$ 4 \times |BC| = 10 \times 8 $$
$$ 4 \times |BC| = 80 $$
Her iki tarafı 4'e bölelim:
$$ |BC| = \frac{80}{4} $$
$$ |BC| = 20 \text{ cm} $$
Böylece, benzerlik özelliğini kullanarak $|BC|$ uzunluğunu $20$ cm olarak bulduk.
Cevap D seçeneğidir.
