Pascal üçgeninin 6. satırındaki sayılar sırasıyla 1, 5, 10, 10, 5, 1'dir. Buna göre $\binom{6}{2} + \binom{6}{3}$ işleminin sonucu kaçtır?
A) 15Bu soruyu çözmek için Pascal üçgeni ve binom katsayıları arasındaki ilişkiyi iyi anlamamız gerekiyor. Pascal üçgeninin her satırı, binom katsayılarını temsil eder. Genellikle 0'dan başlayarak sayılan $n$. satır, $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \dots, \binom{n}{n}$ şeklinde katsayılara sahiptir.
Soruda Pascal üçgeninin 6. satırındaki sayıların sırasıyla 1, 5, 10, 10, 5, 1 olduğu belirtilmiştir. Bu bilgi, bu soru için 6. satırın katsayılarını doğrudan bize vermektedir. Standart Pascal üçgeninde 6. satır (0'dan başlayarak sayıldığında) 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 şeklinde olsa da, bu soruda verilen özel bilgiye uymamız gerekmektedir.
Pascal üçgeninin $n$. satırındaki sayılar sırasıyla $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \dots$ şeklinde ilerler. Buna göre, soruda verilen 6. satırdaki sayılar şu şekilde eşleşir:
$\binom{6}{0} = 1$ (6. satırın 1. sayısı)
$\binom{6}{1} = 5$ (6. satırın 2. sayısı)
$\binom{6}{2} = 10$ (6. satırın 3. sayısı)
$\binom{6}{3} = 10$ (6. satırın 4. sayısı)
$\binom{6}{4} = 5$ (6. satırın 5. sayısı)
$\binom{6}{5} = 1$ (6. satırın 6. sayısı)
Gördüğümüz gibi, soruda bizden istenen $\binom{6}{2}$ ve $\binom{6}{3}$ değerleri, verilen 6. satırdaki sayılar arasında bulunmaktadır.
Yukarıdaki eşleştirmeye göre, 6. satırın 3. sayısı $\binom{6}{2}$'ye karşılık gelir ve değeri 10'dur. 6. satırın 4. sayısı ise $\binom{6}{3}$'e karşılık gelir ve değeri yine 10'dur.
Yani, $\binom{6}{2} = 10$ ve $\binom{6}{3} = 10$ olarak bulunur.
Şimdi bu değerleri toplayalım:
$\binom{6}{2} + \binom{6}{3} = 10 + 10 = 20$
Bu durumda, işlemin sonucu 20'dir.
Cevap B seçeneğidir.
