Kepler kanunları nelerdir Test 1

Güneş sistemindeki iki gezegenden birinin yörünge yarıçapı diğerinin 4 katıdır. Buna göre bu gezegenlerin yörünge periyotları oranı \( \frac{T_1}{T_2} \) kaçtır?

A) 2
B) 4
C) 8
D) 16

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek Kepler'in gezegen hareket yasalarını daha iyi anlayalım.

• 1. Kepler'in Üçüncü Yasası'nı Hatırlayalım:

  Kepler'in Üçüncü Yasası (Periyotlar Yasası), bir gezegenin Güneş etrafındaki yörünge periyodunun karesinin ($T^2$), yörünge yarıçapının küpü ($r^3$) ile doğru orantılı olduğunu belirtir. Matematiksel olarak bu yasa, $ \frac{T^2}{r^3} = K $ şeklinde ifade edilir. Burada $K$, Güneş sistemindeki tüm gezegenler için aynı olan bir sabittir.

• 2. İki Gezegen İçin Yasayı Uygulayalım:

  Güneş sistemindeki iki farklı gezegen için Kepler'in Üçüncü Yasası'nı ayrı ayrı yazabiliriz:

  • Birinci gezegen için: $ \frac{T_1^2}{r_1^3} = K $
  • İkinci gezegen için: $ \frac{T_2^2}{r_2^3} = K $
• 3. Oran Oluşturalım:

  Her iki denklem de aynı $K$ sabitine eşit olduğundan, bu iki denklemi birbirine eşitleyebiliriz:

  $ \frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3} $

  Bizden yörünge periyotları oranı $ \frac{T_1}{T_2} $ istendiği için, denklemi bu oranı bulacak şekilde yeniden düzenleyelim:

  $ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} $

  Bu ifadeyi daha anlaşılır bir şekilde şöyle yazabiliriz:

  $ \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 $

• 4. Verilen Yarıçap İlişkisini Yerine Koyalım:

  Soruda, gezegenlerden birinin yörünge yarıçapının diğerinin 4 katı olduğu belirtiliyor. Diyelim ki birinci gezegenin yarıçapı $r_1$, ikinci gezegenin yarıçapı $r_2$ olsun. O zaman $r_1 = 4r_2$ ilişkisi geçerlidir.

  Bu ilişkiyi yukarıdaki denklemde yerine koyalım:

  $ \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{4r_2}{r_2}\right)^3 $

• 5. Oranı Hesaplayalım:

  Denklemdeki $r_2$ terimleri sadeleşir:

  $ \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = (4)^3 $

  Şimdi $4^3$ değerini hesaplayalım:

  $ 4 \times 4 \times 4 = 64 $

  Yani denklemimiz şu hale gelir:

  $ \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = 64 $

  Son olarak, $ \frac{T_1}{T_2} $ oranını bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:

  $ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{64} $

  $ \frac{T_1}{T_2} = 8 $

Buna göre, gezegenlerin yörünge periyotları oranı 8'dir.

Cevap C seçeneğidir.